असामान्य रूलेट व्हील
18, 25, 26, 31, 40, 49, 62, 73 या 105 पॉकेट वाले व्हील। लगभग सभी की कीमत एक नियम से तय होती है: पॉकेटों का वह हिस्सा जिसे भुगतान अनदेखा करता है।
जब भुगतान ऐसे तय हों जैसे हाउस पॉकेट हों ही नहीं, तो हाउस एजगणितहाउस एजहर दांव का वह हिस्सा जिसे कैसीनो औसतन रखता है: यूरोपीय रूलेट में 2.70%।पूरा पढ़ें → व्हील के आकार से अलग, हाउस पॉकेटों को कुल पॉकेटों से भाग देने पर मिलता है। अधिकांश असामान्य व्हील इस नियम का पालन करते हैं। रोचक व्हील इसे तोड़ते हैं: गोल किया गया भुगतान, बोनस राउंड या कई स्पिनों तक बने रहने वाला दांव।
हर व्हील के लिए एक नियम
यूरोपीय रूलेटरूपांतरयूरोपीय रूलेटसिंगल-ज़ीरो व्हील, 37 पॉकेट, हाउस एज 2.70%। इस साइट का मानक मॉडल।पूरा पढ़ें → 35 से 1 देता है, मानो व्हील में 36 पॉकेटउपकरणपॉकेटरोटर पर 37 क्रमांकित खानों में से एक। इसे स्लॉट, कप भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → हों। इसमें 37 हैं और गुम पॉकेट ही 2.70% एज है। यही नियम किसी भी व्हील पर काम करता है: N अंकों और Z हाउस पॉकेटों के साथ, n अंकों पर ऐसा दांव जो (N − n)/n से 1 देता है, उसका एज Z/(N + Z) है। हर आकार के व्हील बनाए या प्रस्तावित किए गए हैं और तालिका उन्हें कीमत के क्रम में रखती है। इसकी पंक्तियाँ ऑस्ट्रेलियाई खेल Royal Roulette खेलने की मूल बातें भी देती हैं: इसके अंक 2 से किंग तक के पत्ते हैं, इसके दो हाउस पॉकेट ऐस और जोकर हैं, और एक पत्ते पर 47 से 1 भुगतान है।
बड़ा सस्ता हो सकता है
खिलाड़ी 62-पॉकेट व्हील को अधिक दूर का निशाना समझते हैं और खराब खेल मान लेते हैं। एज केवल हाउस पॉकेटों के हिस्से पर निर्भर है। Super 62 में अमेरिकी व्हील जैसे दो शून्यव्हीलशून्यएकल हरा पॉकेट जिसे कोई सम-धन, दर्जन या कॉलम दांव कवर नहीं करता; हाउस एज का स्रोत। इसे सिंगल ज़ीरो, 0 भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → हैं, लेकिन वे 38 में 2 के बजाय 62 में 2 हैं, इसलिए लागत 5.26% के सामने 3.23% है। 72 अंकों और एक शून्य वाला Roulette 73, 1.37% का होता, फ़्रेंच सम-धन के लगभग बराबर। छोटा व्हील हो तो नियम दूसरी ओर काम करता है। Bollman ने 18 पॉकेटों वाला पुराना व्हील दिखाया है, जिसमें 1 से 16 के साथ 0 और 00 हैं। नियम पर हर दांव की लागत 2/18, अर्थात 11.11%, होती: दो हाउस पॉकेट छोटे व्हील का बड़ा हिस्सा हैं।
नियम जहाँ टूटता है: गोल करना
भुगतानपैसाभुगतानजीतने पर दांव से मिलने वाला भुगतान, लौटाई गई दांव-राशि के अतिरिक्त “X to 1” के रूप में बताया जाता है।पूरा पढ़ें → व्यावहारिक चिपपैसाचिपनिश्चित राशि दर्शाने वाला टोकन, दांव लगाने के लिए लेआउट पर रखा जाता है। इसे check भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → राशि में होना चाहिए और जब नियम से भिन्न निकलती है, कैसीनो नीचे की ओर गोल करता है। 100 To 1 Roulette का Avenue दांव 15 पॉकेटों को कवर करता है और उसे 5⅔ से 1 देना चाहिए; वह 11 से 2 देता है, जिससे एज 4.76% से 7.14% हो जाता है। Super 62 पर सात अंकों में 6 अंक है (6, 16, 26, 36, 46, 56, 60) और उस अंक का दांव 7 से 1 देता है, जिससे वह दांव-लेआउटउपकरणलेआउटटेबल पर मुद्रित दांव ग्रिड। इसे टेबल, फेल्ट, क्लॉथ भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → के बाकी हिस्से के तीन गुने, 9.68%, का है। Riverboat Roulette का White दांव 8 अंकों को 7 से 2 पर कवर करता है; 50-सेंट चिप रहित टेबल पर $5 की जीत को $17.50 के बजाय $17 मिलता है, जिससे एज 5.26% से 7.37% हो जाता है। 7.89% वाला अमेरिकी पाँच-अंक दांव इसी बात का परिचित उदाहरण है।
नियम जहाँ टूटता है: बोनस
2020 में Marina Bay Sands में शुरू हुआ Fast Action Roulette चार शून्यों वाले वास्तविक व्हील का उपयोग करता है, जिसकी अकेले लागत 10% होती। हर स्पिन पर दस Bonus अंक यादृच्छिक रूप से जगमगाते हैं। स्ट्रेट-अपदांवस्ट्रेट-अपएक संख्या, भुगतान 35:1।पूरा पढ़ें → 35 से 1 देता है, उसका अंक Bonus अंक होने पर 40 से 1 और उसकी चार की पूरी पंक्ति Bonus होने पर 80 से 1, जिससे लागत 6.65% होती है। खेल के अन्य तीन दांव बहुत अधिक महँगे हैं। IGT का Double Bonus Spin अमेरिकी व्हील में डेढ़ पॉकेट चौड़ा पीला Bonus पॉकेट जोड़ता है; जब गेंदउपकरणगेंदछोटी गेंद जो रोटर के विरुद्ध ट्रैक पर छोड़ी जाती है। आधुनिक गेंदें आइवोरिन या टेफ़्लॉन की होती हैं, 18–21 mm।पूरा पढ़ें → वहाँ रुकती है, हर दांव को दो मुफ्त स्पिन मिलते हैं। हमारी गणना के अनुसार इससे एज स्ट्रेट-अप पर 1.94% और सम-धन पर 2.73% के बीच, सादे अमेरिकी व्हील से नीचे, हो जाता है। Bollman (2021) इस खेल के लिए 3% से 16% छापते हैं; उनके सरल सूत्र में बीजगणित की त्रुटि है, और सम-धन दांवोंदांवसम-धन दांवलाल/काला, विषम/सम, हाई/लो। 18 संख्याएँ, भुगतान 1:1।पूरा पढ़ें → के लिए वह कहता है कि मुफ्त स्पिन दांव से अधिक हारते हैं, जो संभव नहीं।
नियम जहाँ टूटता है: बने रहने वाले दांव
Riverboat Roulette (2012) ने अमेरिकी व्हील के 32 अंकों को दूसरा रंग दिया। White हर शून्य के चारों ओर चार पॉकेट चिह्नित करता है (1, 2, 9, 10, 13, 14, 27, 28)। किसी रंग समूह का दांव तब जीतता है जब उसके अंकों में से कोई आठ White अंकों में से किसी से पहले आए। White अंक “White Out” है जो हर रंग दांव साफ कर देता है। हर दूसरा अंक पुश है: दांव बना रहता है और स्पिनों के बीच हटाया या बढ़ाया जा सकता है। Teal तीन अंकों को कवर करता है और 2 से 1 देता है। प्रति निपटे दांव पर यह दांव का 2/11, अर्थात 18.18%, खोता है। प्रति स्पिन यह 2/38, सामान्य 5.26%, खोता है, क्योंकि औसत दांव 38/11, लगभग 3.5 स्पिन तक बना रहता है।
वह व्हील जिसकी भविष्यवाणी Thorp कर सकते थे: Big Six
Big Six या व्हील ऑफ फॉर्च्यून 54 स्लॉट वाला बड़ा सीधा व्हील है: 24 स्लॉट 1 से 1, 15 स्लॉट 2 से 1, सात 5 से 1, चार 10 से 1, दो 20 से 1 देते हैं और दो लोगो स्लॉट 40 से 1 देते हैं। कोई शून्य नहीं है; हाउस कम भुगतान देकर अपना हिस्सा लेता है और एज 1 से 1 वाले स्लॉट पर 11.1% से लोगो पर 24.1% तक है। 1961 में Thorp ने इसके लिए माचिस की डिबिया जितना भविष्यवक्ता बनाया, जो पैर की अंगुली के स्विच से चलता था; और 1981 में कलाई घड़ी से कैसीनो व्हील के एक चक्कर का समय लेकर उन्होंने पाया कि वह आमतौर पर रुकने के स्थान को पाँच स्लॉटों के भीतर बता सकते हैं। यदि व्हील घूमने के बाद दांव लिए जाते, तो भविष्यवाणी के पास के केवल अधिक भुगतान वाले स्लॉटों पर दांव लगभग +211% लौटाते। वे नहीं लिए जाते, और व्हील धीरे-धीरे व पूरी तरह दिखाई देते हुए घूमता है, इसलिए देर का दांव साफ दिखता; Thorp ने लिखा कि खेल में उसे छिपाने लायक गतिविधि बहुत कम थी।
बहुत कम क्यों चलते हैं
पेशेवर व्हील की लागत हजारों डॉलर होती है और असामान्य संख्या के पॉकेटों वाला व्हील विशेष रूप से बनवाना पड़ता है। इसलिए अधिकतर नए रूलेट खेल मानक व्हील रखकर दांव जोड़ते हैं, इसी कारण साइड-बेट पृष्ठ इससे लंबा है। 19वीं सदी के अमेरिका का 31-पॉकेट ईगल व्हील, एक अंक पर 12.90% और बाकी हर चीज़ पर 9.68%, अपनी ही कीमत से समाप्त हो गया। तीसरे हाउस पॉकेट का विचार 2016 में 39-पॉकेट व्हील पर लौटा, जहाँ इसकी लागत 7.69% है।
प्रश्न
अपने आप में नहीं। एज हाउस पॉकेटों का हिस्सा है: 73 में 1, 37 में 1 से सस्ता है।
1.37% वाला Roulette 73, लेकिन यह प्रकाशित डिज़ाइन है, ऐसी टेबल नहीं जिसके मिलने की संभावना हो। खिलाड़ियों को दिए गए व्हीलों में European और French के बाद 3.23% वाला Super 62 आता है।
बोनस का भुगतान होना चाहिए, आमतौर पर आधार भुगतान में कटौती या अधिक एज वाले अलग दांव से।
गणित के साथ मनोरंजन
पहले इन्हें स्वयं आज़माएँ। हर समाधान बंद है; तैयार होने पर इसे खोलें।
ऑस्ट्रेलिया में विकसित Royal Roulette में 50 पॉकेटउपकरणपॉकेटरोटर पर 37 क्रमांकित खानों में से एक। इसे स्लॉट, कप भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → हैं: 2 से किंग तक के 48 कार्ड, साथ में एक ऐस और एक जोकर। एक कार्ड 47 से 1, दो कार्ड 23 से 1, तीन 15 से 1, चार 11 से 1, छह 7 से 1, आठ 5 से 1, बारह 3 से 1, सोलह 2 से 1 और चौबीस 1 से 1 देते हैं। कौन सा नियम ये भुगतानपैसाभुगतानजीतने पर दांव से मिलने वाला भुगतान, लौटाई गई दांव-राशि के अतिरिक्त “X to 1” के रूप में बताया जाता है।पूरा पढ़ें → बनाता है, और हर दांव की लागत क्या है?
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उत्तर n कार्डों पर हर दांव (48 − n)/n से 1 देता है, इसलिए हर दांव की लागत 2/50 = 4% है।
कुछ दांवों पर नियम आज़माएँ: 47/1 = 47, 36/12 = 3, 32/16 = 2, 24/24 = 1। यह सभी नौ पर लागू होता है। नियम व्हील को ऐसे मानकर भुगतान तय करता है मानो उसमें 48 पॉकेट हों, इसलिए ऐस और जोकर दो हाउस पॉकेट हैं, ठीक जैसे अमेरिकी व्हील पर 0 और 00।
50 में दो हाउस पॉकेट 4% का एज देते हैं। एक “यूरोपीय” संस्करण जोकर हटाता है और भुगतान रखता है: 49 में एक हाउस पॉकेट, 2.04% का एज।
Super 62 में दांव है कि चुना गया अंक जीतने वाले नंबर में दिखाई दे। सामान्य अमेरिकी व्हील के लिए वही दांव तैयार करें। 1 से 36 तक के कितने नंबरों में हर अंक आता है, और कौन से भुगतान सामान्य 5.26% रखेंगे?
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उत्तर केवल 3 या 4 नंबरों वाले अंकों के साफ भुगतान हैं (11 से 1 और 8 से 1)। अंक 1, 2 और 3 को पूरे चिपोंपैसाचिपनिश्चित राशि दर्शाने वाला टोकन, दांव लगाने के लिए लेआउट पर रखा जाता है। इसे check भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → में निष्पक्ष भुगतान नहीं दिया जा सकता।
नंबर गिनें। अंक 1, 1, 10 से 19, 21 और 31 में आता है: 13 नंबर। अंक 2 भी 13 नंबरों में और अंक 3, 10 में है। अंक 4, 5 और 6 प्रत्येक चार नंबरों में हैं (4, 14, 24, 34), और 7, 8 और 9 प्रत्येक तीन में।
n नंबरों पर दांव अमेरिकी एज रखता है यदि वह (36 − n)/n से 1 दे। इससे चार नंबरों के लिए 8 से 1 और तीन के लिए 11 से 1, दोनों पूरे, मिलते हैं। 13 नंबरों के लिए 23/13, लगभग 1.77 से 1, और 10 नंबरों के लिए 2.6 से 1 मिलता है। 1.77 को नीचे 7 से 4 तक करने पर दांव की लागत 5.92%; ऊपर 2 से 1 करने पर खिलाड़ी के पास 2.63% एज है। 2.6 को नीचे 5 से 2 करने पर 7.89% बनता है।
अंक 0 एक विकल्प है: केवल 10, 20 और 30, 5.26% पर 11 से 1 देते हैं; 0 और 00 जोड़ें तो पाँच-नंबर दांव है, 7.89% पर 6 से 1, बास्केटदांवबास्केटसिंगल-ज़ीरो व्हील पर: एक चिप से 0, 1, 2, 3, भुगतान 8:1। इसे first four, quatre premiers भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → की तरह।
अंकनंबरनियम कहता हैदे सकता हैहाउस एज1, 2131.77 से 17 से 45.92%3102.6 से 15 से 27.89%4, 5, 648 से 18 से 15.26%7, 8, 9311 से 111 से 15.26%100 To 1 Roulette, 100 नंबरों और 5 हाउस प्रतीकों वाले व्हील पर, अधिकांश दांवों में (100 − n)/n से 1 देता है। उसके दांव 1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 20 या 50 पॉकेट ढकते हैं और 100, 49, 32, 24, 19, 9, 11 से 2, 4 और 1 से 1 देते हैं। स्ट्रेट-अपदांवस्ट्रेट-अपएक संख्या, भुगतान 35:1।पूरा पढ़ें → और 15-पॉकेट Avenue नियम तोड़ते हैं। कौन सा दूसरा दांव भी तोड़ता है, और उसकी लागत क्या है?
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उत्तर तीन-पॉकेट दांव: नियम 32⅓ से 1 कहता है, वह 32 से 1 देता है और 4.76% के बजाय 5.71% की लागत है।
हर भुगतान को नियम से जाँचें: 98/2 = 49, 96/4 = 24, 95/5 = 19, 90/10 = 9, 80/20 = 4 और 50/50 = 1 सभी मिलते हैं। तीन पॉकेटों के लिए नियम 97/3 = 32⅓ देता है, जिसका भुगतान किसी पूरे चिप में नहीं हो सकता, इसलिए उसे नीचे 32 किया जाता है।
दांव 105 स्पिनों में 3 बार जीतता है और तब दांव शामिल करके 33 यूनिटपैसाइकाईआधार दांव जिसमें कोई प्रणाली या खिलाड़ी काम करता है। प्रगति-क्रम इकाइयों में वर्णित होते हैं ताकि वे किसी भी टेबल पर लागू हों।पूरा पढ़ें → लौटाता है: 105 लगाई यूनिट पर 3 × 33 = 99 यूनिट वापस, 6/105 = 5.71% की हानि।
Roulette 73, एक प्रकाशित रूपरेखा, में 72 नंबर और एक शून्यव्हीलशून्यएकल हरा पॉकेट जिसे कोई सम-धन, दर्जन या कॉलम दांव कवर नहीं करता; हाउस एज का स्रोत। इसे सिंगल ज़ीरो, 0 भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → है, और हर दांव (72 − n)/n से 1 देता है। उसके 24 धूसर नंबरों को 14 चिपों से ढका जा सकता है: 4 स्ट्रेट-अप और 10 स्प्लिटदांवस्प्लिटदो आसन्न संख्याएँ, भुगतान 17:1।पूरा पढ़ें →। उस 14-चिप दांव की लागत क्या है?
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उत्तर 14 चिपों की 1.37%, उस व्हील के बाकी सभी दांवों की तरह।
लंबा तरीका: स्ट्रेट-अप 71 से 1 और स्प्लिट 35 से 1 देता है। यदि 4 स्ट्रेट-अप नंबरों में से एक आए तो आप 71 जीतते और अन्य 13 चिपें हारते हैं: +58। यदि 20 स्प्लिट नंबरों में से एक आए: +35 − 13 = +22। अन्य 49 पॉकेटों पर सभी 14 हारते हैं। 73 स्पिनों पर औसतन: 4 × 58 + 20 × 22 − 49 × 14 = 232 + 440 − 686 = −14 यूनिट, जो हर चिप की 1/73 है।
छोटा तरीका: अपेक्षित मानगणितअपेक्षित मानलंबी अवधि में प्रति दांव औसत परिणाम। हर मानक यूरोपीय दांव के लिए दांव का −1/37।पूरा पढ़ें → जुड़ते हैं। हर चिप सामान्य दांव है जो अपना 1/73 खोती है, इसलिए 14 चिपें 14/73 खोती हैं। दांव मिलाने से परिणामों का फैलाव बदलता है, उनकी लागत कभी नहीं।
Super 62 में 60 नंबर, 0 और 00 हैं, और यह (60 − n)/n से 1 देता है। उसके डिज़ाइनरों ने इसे एक, तीन और चार हाउस पॉकेटों के साथ भी बनाया। Alphabetic Roulette 25 पॉकेटों पर (24 − n)/n से 1 देता है, और उसका एक रूप Y और Z को अपने-अपने पॉकेटों में रखता है। पाँचों की कीमत बताइए।
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उत्तर एक से चार शून्यों के साथ: 1.64%, 3.23%, 4.76% और 6.25%। Y और Z अलग होने पर Alphabetic: 7.69%।
इन सबमें भुगतान समान हैं और केवल हाउस पॉकेटों की संख्या बदलती है, इसलिए एज हाउस पॉकेट ÷ सभी पॉकेट है।
एक शून्य, 61 पॉकेट: 1/61 = 1.64%। दो, 62 पॉकेट: 2/62 = 3.23%। तीन, 63 पॉकेट: 3/63 = 4.76%। चार, 64 पॉकेट: 4/64 = 6.25%। जोड़ा गया हर शून्य एज लगभग डेढ़ प्रतिशत अंक बढ़ाता है।
Alphabetic 24 अक्षरों जैसा भुगतान देता है। Y और Z एक पॉकेट साझा करें तो हाउस एज 25 में 1, अर्थात 4%, है। Y और Z अलग हों तो 26 में 2, 7.69%, ट्रिपल-ज़ीरो व्हील जितना। एक पॉकेट को दो में बाँटने ने लगभग कीमत दोगुनी कर दी।
व्हीलपॉकेटहाउस पॉकेटहाउस एज60 नंबर, एक शून्य6111.64%Super 626223.23%60 नंबर, तीन शून्य6334.76%Super 646446.25%Alphabetic2514.00%Alphabetic, Y और Z अलग2627.69%एक प्राचीन व्हील में 18 पॉकेट हैं: 1 से 16, 0 और 00। विषम नंबर और 0 लालदांवलाल18 लाल संख्याओं पर सम-धन दांव। फ़्रेंच: rouge।पूरा पढ़ें → हैं, सम नंबर और 00 कालेदांवकाला18 काली संख्याओं पर सम-धन दांव। फ़्रेंच: noir।पूरा पढ़ें → हैं, और 16 नंबर 4-बाय-4 लेआउटउपकरणलेआउटटेबल पर मुद्रित दांव ग्रिड। इसे टेबल, फेल्ट, क्लॉथ भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → पर बैठे हैं। ऐसी पे टेबलपैसाभुगतान तालिकाहर दांव या परिणाम का भुगतान बताने वाली सूची। मशीनों और साइड दांवों में यहीं हाउस एज तय होता है।पूरा पढ़ें → बनाएँ जो हर दांव को समान एज दे। और 0 लाल होते हुए भी लाल पर दांव क्यों हारना चाहिए?
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उत्तर हर n के लिए (16 − n)/n से 1 दें: एक नंबर पर 15 से 1, दो पर 7, चार पर 3, आठ पर 1। हर दांव की लागत 11.11% है। यदि 0 आने पर लाल दांव जीतता, तो लाल निष्पक्ष दांव होता।
व्हील की कीमत ऐसे लगाएँ मानो 0 और 00 वहाँ न हों। n नंबरों पर दांव 18 में n बार जीतता है और (16 − n)/n से 1 देता है, इसलिए वह 18 लगाई राशि पर, दांव सहित, 16 यूनिट लौटाता है। हर दांव की लागत 2/18, 11.11%, है।
लेआउट के प्राकृतिक दांव पूरे निकलते हैं: एक नंबर 15 से 1, बगल के दो 7 से 1, चार की एक पंक्ति या कॉलमदांवकॉलमलेआउट के एक ऊर्ध्वाधर कॉलम में बारह संख्याएँ, भुगतान 2:1।पूरा पढ़ें → 3 से 1, और दो पंक्तियाँ या विषम, सम, लो या हाई आठ 1 से 1। तीन-नंबर दांव को 4⅓ से 1 चाहिए; नीचे 4 से 1 करने पर उसकी लागत 16.67% है।
लाल आठ विषम नंबरों को ढकता है। यदि 0, लाल होने पर, लाल दांव भी जीतता, तो लाल 18 में से 9 पॉकेटों को 1 से 1 पर ढकता: बिना एज का निष्पक्ष खेलगणितनिष्पक्ष खेलऐसा खेल जिसमें किसी पक्ष को एज न हो: हर दांव का अपेक्षित मान शून्य हो।पूरा पढ़ें →। हाउस पॉकेट केवल अपने ऊपर के दांव को छोड़कर हर दांव को हराकर अपना एज कमाते हैं।
हास्य-विराम
हाउस पॉकेट गिनें, फिर गोल किए गए भुगतान को देखें।
स्रोत
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Thorp, E. O. “The invention of the first wearable computer.”