काई-वर्ग परीक्षण
“क्या ये 37 गिनतियाँ वैसी हैं जैसी एक निष्पक्ष व्हील देता?” का मानक परीक्षण।
χ² = Σ (observed − expected)² / expected सभी 37 पॉकेटों पर। p-value पाने के लिए 36 स्वतंत्रता-डिग्री वाले काई-वर्ग वितरण से तुलना करें।
इसकी गणना
हर पॉकेटउपकरणपॉकेटरोटर पर 37 क्रमांकित खानों में से एक। इसे स्लॉट, कप भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → के लिए अपेक्षित गिनती n/37 है। हर पॉकेट के लिए प्रेक्षित और अपेक्षित के अंतर का वर्ग करें, अपेक्षित से भाग दें और सभी 37 पद जोड़ें। निष्पक्ष व्हील औसतन 36 के आसपास मान देता है (यानी स्वतंत्रता की डिग्रियाँलैबस्वतंत्रता की डिग्रियाँकिसी सांख्यिकी में स्वतंत्र मानों की संख्या। 37 पॉकेटों पर काई-वर्ग परीक्षण के लिए यह 36 है, क्योंकि गिनतियों का योग कुल के बराबर होना चाहिए।पूरा पढ़ें →), जिसका मानक विचलनगणितमानक विचलनप्रसरण का वर्गमूल; परिणाम की अपेक्षित मान से सामान्य दूरी।पूरा पढ़ें → लगभग 8.5 है। 51.0 से ऊपर 5% स्तर पर महत्वपूर्ण है; 58.6 से ऊपर 1% पर। Wheel Bias Analyzer नियमितीकृत अपूर्ण गामा फलन से यह सांख्यिकीय मान और सटीक p-valueलैबp-मूल्ययदि व्हील निष्पक्ष हो तो कम-से-कम देखे गए विचलन जितना बड़ा विचलन देखने की प्रायिकता।पूरा पढ़ें → निकालता है।
एक उदाहरण
1,000 स्पिन। छत्तीस पॉकेटों में 20 से 34 हिट आते हैं; पॉकेट 8 में 41 हैं। अपेक्षित 27.03 है। अकेले पॉकेट-8 का पद (41 − 27.03)²/27.03 = 7.2 है। मान लें कि बाकी 36 पदों का योग 38 (सामान्य) है। 36 df पर χ² = 45.2, p ≈ 0.14। महत्वपूर्ण नहीं: निष्पक्ष व्हील में ऐसा सात में एक बार होता है। पॉकेट 8 एक उम्मीदवार है, निष्कर्ष नहीं; उत्तर है और एक हजार स्पिन।
मान्यताएँ
स्वतंत्र स्पिनगणितस्वतंत्र स्पिनइतिहास चाहे जो हो, हर स्पिन की प्रायिकताएँ समान हैं। इस साइट की हर गणना का आधार।पूरा पढ़ें →, और प्रति पॉकेट कम-से-कम 5 की अपेक्षित गिनती, जिसका अर्थ है कि परीक्षण के बिल्कुल वैध होने के लिए n ≥ 185 चाहिए और उपयोगी होने के लिए इससे बहुत अधिक। अलग-अलग व्हीलों की स्पिन को मिलाना पहली मान्यता का सारतः उल्लंघन है (आप व्हील नहीं, मिश्रण की जाँच कर रहे हैं)। डीलर-सिग्नेचर प्रभाव वास्तव में इसका उल्लंघन करेगा और किसी पॉकेट के भौतिक रूप से पसंदीदा हुए बिना χ² बढ़ा देगा।
Pearson और Monte Carlo
Karl Pearson ने 1900 में यह परीक्षण प्रकाशित किया था, और उनके पहले सुलझाए उदाहरणों में 26,306 दर्ज की गई Monte Carlo रूलेट स्पिन थीं, जिन्हें उन्होंने संयोग के लिए बहुत अधिक असमान पाया और घोषित किया कि “Monte Carlo roulette… is not a game of chance”। बाद के लेखकों ने निष्कर्ष निकाला कि किसी समाचारपत्र के लिए स्पिन दर्ज करने वाले पत्रकारों ने उनमें से कई गढ़ ली थीं; डेटा की उत्पत्ति के बारे में यह अपने-आप में सबक है।
Pearson, Monte Carlo स्पिन को उदाहरण बनाकर, काई-वर्ग गुडनेस-ऑफ-फिट परीक्षण प्रकाशित करते हैं।
स्पिन डेटा पर सवाल उठता है; दर्ज करने वालों ने संभवतः परिणामों के क्रम गढ़े थे।
Fisher स्वतंत्रता की डिग्रियों को औपचारिक रूप देते हैं; 5% की परंपरा स्थापित होती है।
सांख्यिकीविद एकरूपता परीक्षणों के लिए रूलेट स्पिन को पाठ्य-पुस्तक डेटा के रूप में इस्तेमाल करते हैं।
García-Pelayo परिवार वास्तविक दर्ज डेटा के साथ विधि अपनाता है और मैड्रिड में जीतता है।
कैसीनो नियमित रखरखाव के रूप में अपने व्हीलों पर यही परीक्षण चलाते हैं।
एक वास्तविक परीक्षण: Las Vegas के स्वचालित व्हील
खिलाड़ियों को अक्सर संदेह होता है कि स्वचालित व्हील गेंदउपकरणगेंदछोटी गेंद जो रोटर के विरुद्ध ट्रैक पर छोड़ी जाती है। आधुनिक गेंदें आइवोरिन या टेफ़्लॉन की होती हैं, 18–21 mm।पूरा पढ़ें → को बड़े दांवों से दूर मोड़ता है। 2017 के एक विश्लेषण ने Las Vegas में Interblock के डीलर-रहित डबल-ज़ीरोव्हीलशून्यएकल हरा पॉकेट जिसे कोई सम-धन, दर्जन या कॉलम दांव कवर नहीं करता; हाउस एज का स्रोत। इसे सिंगल ज़ीरो, 0 भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → व्हीलों पर इस संदेह की जाँच की; पाँच पड़ोसी अंकों के एक चाप पर दांव लगाया गया, जैसा कोई व्हील-क्लॉकर लगाता है। 299 स्पिन में चाप 29 बार जीता, जबकि अपेक्षित 39.3 था; यह कमी निष्पक्ष व्हील लगभग 4% समय पैदा करता है। सभी 38 पॉकेटों पर काई-वर्ग 37 स्वतंत्रता-डिग्री पर 45.29 था: p = 16.5%। तीन व्हीलों पर 1,204 स्पिन के दूसरे नमूने में χ² = 34.79, p = 57% आया और आजमाए गए किसी भी आकार का चाप महत्वपूर्ण नहीं था। दोनों नमूनों को मिलाकर, 1,503 स्पिन में χ² = 41.75, p = 27% था। निष्कर्ष: मोड़ने का कोई प्रमाण नहीं। अकेला पहला नमूना संदिग्ध लगा; दूसरे ने बात तय की।
काई-वर्ग से आगे
किसी एक संदिग्ध पॉकेट के लिए द्विपद परीक्षण अधिक शक्तिशाली है। संदिग्ध चाप के लिए, सेक्टर विश्लेषण पृष्ठ पर सेक्टरव्हीलसेक्टरव्हील पर पॉकेटों का लगातार चाप, लेआउट के किसी समूह से अलग।पूरा पढ़ें → z-परीक्षण देखें। काई-वर्ग सर्वसमावेशी परीक्षण है: यह बताता है कि कुछ गड़बड़ है, पर क्या गड़बड़ है यह नहीं। पहले इसका उपयोग करें, फिर देखें।
सूत्र
प्रश्न
37 गिनतियों का योग n होना चाहिए, इसलिए केवल 36 स्वतंत्र रूप से बदल सकती हैं।
10,000 स्पिन में 1/25 पर एक पॉकेट अकेले लगभग 70 का पॉकेट-पद देगा; χ² 100 से बहुत ऊपर होगा और p प्रभावी रूप से शून्य।
तकनीकी रूप से हाँ, प्रति पॉकेट 5.4 अपेक्षित के साथ। यह ऐसे व्हील से कम में कुछ नहीं पकड़ेगा जिसका कोई पॉकेट चिपकाकर बंद किया हो।
हास्य-विराम
वर्ग किए गए आश्चर्यों का योग लें। 51.0 से तुलना करें।
स्रोत
- Pearson, K. “On the criterion that a given system of deviations from the probable…”
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Organic Roulette Experiment.”