रूलेट हाउस एज
हर दांव की वह हिस्सेदारी जिसे कसीनो औसतन रखता है।
यूरोपीय रूलेट: हर मानक दांव पर 2.70%, क्योंकि भुगतान 36 पॉकेट मानकर निकाले जाते हैं, जबकि पॉकेट 37 हैं।
व्युत्पत्ति
स्ट्रेट-अपदांवस्ट्रेट-अपएक संख्या, भुगतान 35:1।पूरा पढ़ें → के उचित ऑड्स 36 से 1 होते, क्योंकि जीतने के हर एक तरीके के बदले हारने के 36 तरीके हैं। कसीनो 35 से 1 देता है। 37 समान संभावित परिणामों में फैली हुई छूटी इकाईपैसाइकाईआधार दांव जिसमें कोई प्रणाली या खिलाड़ी काम करता है। प्रगति-क्रम इकाइयों में वर्णित होते हैं ताकि वे किसी भी टेबल पर लागू हों।पूरा पढ़ें →, प्रति स्पिन दांव की राशि का 1/37 = 2.70% है। यही कमी हर भुगतानपैसाभुगतानजीतने पर दांव से मिलने वाला भुगतान, लौटाई गई दांव-राशि के अतिरिक्त “X to 1” के रूप में बताया जाता है।पूरा पढ़ें → में दिखती है, क्योंकि हर भुगतान 36/n − 1 नियम का उपयोग करता है: स्प्लिटदांवस्प्लिटदो आसन्न संख्याएँ, भुगतान 17:1।पूरा पढ़ें → 17.5 के बदले 17, दर्जनदांवदर्जन1–12, 13–24 या 25–36, भुगतान 2:1।पूरा पढ़ें → 2.083 के बदले 2, लालदांवलाल18 लाल संख्याओं पर सम-धन दांव। फ़्रेंच: rouge।पूरा पढ़ें → 1.056 के बदले 1 देता है। अंतर हर जीत पर हमेशा 1/n इकाई और प्रति स्पिन n/37 जीत का है, अतः हमेशा प्रति स्पिन 1/37।
एज बनाम होल्ड
एज प्रति लगाई गई इकाई की अपेक्षित हानिगणितअपेक्षित हानिकुल लगाई राशि से गुणा किया गया अपेक्षित मान; सत्र या अवधि में औसतन खोई राशि।पूरा पढ़ें → है: प्रति स्पिन 2.70%। होल्डपैसाहोल्डखिलाड़ी टेबल पर जितना पैसा लाते हैं उसमें से कैसीनो वास्तव में जितना रखता है। हाउस एज से अधिक, क्योंकि जीत फिर से लगाई जाती है।पूरा पढ़ें → वह है जो कसीनो वास्तव में आपके टेबल पर लाए धन से रखता है, और यह बहुत अधिक है क्योंकि आप अपनी जीत फिर लगाते हैं। $100 का बाय-इनटेबलबाय-इनटेबल पर नकद को चिप्स से बदलना। स्पिनों के बीच, डीलर को देने के बजाय नकद को लेआउट पर रखकर किया जाता है।पूरा पढ़ें →, जिसे 200 स्पिनों में एक बार में $10 लगाया गया, $2,000 की कुल दांव-राशि बनाता है और लगभग $54 एज चुका देता है; उस बाय-इन पर होल्ड 54% है। कसीनो होल्ड रिपोर्ट करते हैं; खिलाड़ियों को एज के बारे में सोचना चाहिए।
हर दांव का एज समान क्यों है
यह संयोग नहीं, डिजाइन का विकल्प है। 36/n − 1 नियम 18वीं सदी में तय हुआ था और बाद में डबल ज़ीरोरूपांतरडबल ज़ीरोअमेरिकी व्हील का 00 पॉकेट। इसकी मौजूदगी हाउस एज को 2.70% से 5.26% तक बढ़ाती है।पूरा पढ़ें → हटाया गया, भुगतान बदले बिना। यदि 37 पॉकेटउपकरणपॉकेटरोटर पर 37 क्रमांकित खानों में से एक। इसे स्लॉट, कप भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → के लिए भुगतान उचित होते, तो स्ट्रेट-अप 36 से 1 देता और कसीनो की कोई आय नहीं होती। एकरूप एज सुविधाजनक है: दूसरे की तुलना में कोई रूलेट दांव “मूर्ख का दांव” नहीं है, अमेरिकी पाँच-संख्या दांव 7.89% के एकमात्र अपवाद के साथ।
रूलेट एज क्या नहीं है
यह किसी सत्र को हारने की प्रायिकतागणितप्रायिकतापरिणाम की संभावना, 0 से 1 या 0% से 100% तक। एक संख्या: 1/37 = 2.70%।पूरा पढ़ें → नहीं है; अधिकांश छोटे सत्रों का निर्णय प्रसरणगणितप्रसरणअपेक्षित मान के चारों ओर परिणाम कितने व्यापक फैले हैं इसका माप। स्ट्रेट-अप के लिए अधिक, सम-धन दांवों के लिए कम।पूरा पढ़ें → करता है, और 100-स्पिन सम-धन सत्रों के लगभग 42% लाभ में समाप्त होते हैं। यह प्रति-सत्र शुल्क नहीं है; यह कुल दांव-राशिपैसाकुल दांव-राशिसत्र या अवधि में लगाई कुल राशि, फिर से लगाई जीतों सहित। इसे हैंडल, एक्शन भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → के साथ बढ़ता है, इसलिए अधिक दांव लगाने वाली प्रगतिरणनीतिप्रगति-क्रमपिछले परिणामों के आधार पर दांव बदलने वाला कोई नियम। नकारात्मक प्रगति-क्रम हार के बाद बढ़ाते हैं, सकारात्मक जीत के बाद।पूरा पढ़ें → अधिक चुकाती है। यह ऐसी चीज़ नहीं जिसे दांव का ढाँचा पतला कर सके, क्योंकि एक साथ लगाए गए दांवों के एज उनकी राशियों के अनुपात में जुड़ते हैं।
धन में
प्रति $1,000 दांव पर अपेक्षित हानि यूरोपीय रूलेटरूपांतरयूरोपीय रूलेटसिंगल-ज़ीरो व्हील, 37 पॉकेट, हाउस एज 2.70%। इस साइट का मानक मॉडल।पूरा पढ़ें → में $27.03, अमेरिकी में $52.63, और सम-धन दांवोंदांवसम-धन दांवलाल/काला, विषम/सम, हाई/लो। 18 संख्याएँ, भुगतान 1:1।पूरा पढ़ें → पर La PartageनियमLa partageफ़्रेंच नियम: शून्य आने पर सम-धन दांव का आधा वापस होता है। उन दांवों पर हाउस एज को 1.35% तक आधा करता है।पूरा पढ़ें → के साथ $13.51 है। साल भर सप्ताह में दो बार शाम को $500 लगाने वाला नियमित खिलाड़ी $52,000 की कुल दांव-राशि बनाता है और यूरोपीय व्हील पर लगभग $1,400 एज चुका देता है। प्रति स्पिन आँकड़ा छोटा है और प्रति वर्ष निर्दय।
प्रति स्पिन या प्रति निपटाए गए दांव
लगभग हर रूलेट दांव एक स्पिन से तय होता है, इसलिए प्रति स्पिन और प्रति दांव उसका एज एक ही संख्या है। ऐसा दांव जो पुश कर सकता है और दांव-लेआउटउपकरणलेआउटटेबल पर मुद्रित दांव ग्रिड। इसे टेबल, फेल्ट, क्लॉथ भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → पर रह सकता है, उसके दो माप हैं। Riverboat Roulette का टील दांव अमेरिकी व्हील की 3 संख्याओं को कवर करता है, उनमें से कोई 8 सफेद संख्याओं से पहले आने पर 2 से 1 जीतता है, और बाकी सब पर पुश होता है। प्रति निपटाए गए दांव पर वह दांव की राशि का 2/11, अर्थात 18.18%, हारता है। प्रति स्पिन वह 2/38, अर्थात 5.26%, हारता है, क्योंकि औसतन दांव 38/11 स्पिन, लगभग 3.5, लगा रहता है। दोनों आँकड़े सही हैं। प्रति-स्पिन आँकड़ा दांव की तुलना बाकी टेबल से करता है और तय करता है कि एक घंटे की लागत क्या है; प्रति-निपटाया आँकड़ा बताता है कि आखिरकार दांव तय होने पर हर राशि में से कितना वापस आता है।
जब कसीनो की कीमत गलत हो
इस पृष्ठ का हर एज उस गणित से आता है जिसे कसीनो सामान्यतः सही करते हैं। कभी-कभी वे नहीं करते। अक्टूबर 1994 में बिलॉक्सी, मिसिसिपी के Grand Casino ने तीन पासों के योग 4 पर 80 से 1 और 17 पर भी उतना ही दिया। तीन पासे 216 तरीकों से गिरते हैं और उनमें केवल 3 का योग 4 है, इसलिए दांव हर लगाई इकाई पर 81 × 3/216 = 1.125 लौटाता था: खिलाड़ी के लिए 12.5% एज। खिलाड़ियों ने ध्यान दिया। कसीनो ने एक दिन में लगभग $1,80,000 गंवाए, दांव बंद किया और 60 से 1 पर फिर खोला, जो 216 में उन्हीं 3 संभावनाओं को हाउस के लिए 15.3% एज में बदल देता है। बोलमैन का हवाला देते हुए हुनाचेक (2025) कहानी सुनाते हैं। रूलेट के मानक भुगतान इतने सरल हैं कि इस तरह गलत होना कठिन है; इसके असामान्य साइड दांवोंदांवसाइड दांवमुख्य गेम से जुड़ा वैकल्पिक अतिरिक्त दांव, सामान्यतः लगातार परिणामों के क्रम, बोनस घटना या जैकपॉट पर। लगभग हमेशा मानक दांवों से महँगा।पूरा पढ़ें → में गणित जाँचना उपयोगी है।
अन्य टेबल खेलों में साइड दांव
बोलमैन (2021) ब्लैकजैक, बैकारेट, क्रैप्स और रूलेट के मुख्य दांवों को उन्हीं टेबलों के सामान्य साइड दांवों के साथ रखते हैं। पहले तीन खेलों में साइड दांव मुख्य दांव से अधिक खर्च करते हैं, अक्सर कई गुना अधिक। अपवाद तालिका का अंतिम खेल है: अमेरिकी रूलेटरूपांतरअमेरिकी रूलेट0 और 00 वाला व्हील, 38 पॉकेट, हाउस एज 5.26%। इस साइट का डिफ़ॉल्ट मॉडल नहीं है।पूरा पढ़ें → में मुख्य दांवों पर एज 5.26% है, इतना अधिक कि Colors या WINGO जैसा साइड दांव कम महँगा हो सकता है।
सूत्र
प्रश्न
नहीं। यह आपके दांव का 2.70% है। उसी धन को फिर लगाने पर उस पर फिर दांव लगता है।
नहीं। यह अनुपात है। डॉलर में अपेक्षित हानि दांव की राशि के साथ बढ़ती है।
एज से मापें तो सभी मानक यूरोपीय दांव समान हैं; फर्क केवल जीत की बारंबारता और भुगतान में है। La Partage के साथ सम-धन दांवों का एज बाकी दांवों के एज का आधा है।
गणित के साथ मनोरंजन
पहले इन्हें स्वयं आज़माएँ। हर समाधान बंद है; तैयार होने पर इसे खोलें।
यूरोपीय व्हील पर स्ट्रेट-अपदांवस्ट्रेट-अपएक संख्या, भुगतान 35:1।पूरा पढ़ें → और लालदांवलाल18 लाल संख्याओं पर सम-धन दांव। फ़्रेंच: rouge।पूरा पढ़ें → पर दांव, एक नंबर और अठारह नंबर कवर करने के बावजूद, दोनों की लागत 2.70% है। हर दांव का हाउस एजगणितहाउस एजहर दांव का वह हिस्सा जिसे कैसीनो औसतन रखता है: यूरोपीय रूलेट में 2.70%।पूरा पढ़ें → समान क्यों है?
समाधान दिखाएँ
उत्तर हर भुगतानपैसाभुगतानजीतने पर दांव से मिलने वाला भुगतान, लौटाई गई दांव-राशि के अतिरिक्त “X to 1” के रूप में बताया जाता है।पूरा पढ़ें → ऐसे तय है जैसे शून्यव्हीलशून्यएकल हरा पॉकेट जिसे कोई सम-धन, दर्जन या कॉलम दांव कवर नहीं करता; हाउस एज का स्रोत। इसे सिंगल ज़ीरो, 0 भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → हो ही नहीं, इसलिए हर दांव 37 स्पिनों में एक इकाईपैसाइकाईआधार दांव जिसमें कोई प्रणाली या खिलाड़ी काम करता है। प्रगति-क्रम इकाइयों में वर्णित होते हैं ताकि वे किसी भी टेबल पर लागू हों।पूरा पढ़ें → हारता है, चाहे जितने नंबर कवर करे।
n नंबरों के दांव को लें। वह 1 के बदले (36 − n)/n देता है। 37 स्पिनों में वह औसतन n बार जीतता और 37 − n बार हारता है।
जीतें n × (36 − n)/n = 36 − n इकाइयाँ लाती हैं। हारों की लागत 37 − n इकाइयाँ है। अंतर हर 37 स्पिन में −1 इकाई है, और n कट गया है: परिणाम स्ट्रेट-अप, कॉर्नरदांवकॉर्नरलेआउट पर एक कोना साझा करने वाली चार संख्याएँ, भुगतान 8:1।पूरा पढ़ें → या दर्जनदांवदर्जन1–12, 13–24 या 25–36, भुगतान 2:1।पूरा पढ़ें → के लिए समान है। 37 में एक इकाई हानि 2.70% है।
N पॉकेटोंउपकरणपॉकेटरोटर पर 37 क्रमांकित खानों में से एक। इसे स्लॉट, कप भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → वाले व्हील पर वही योग (36 − N)/N देता है, इसलिए अमेरिकी व्हील पर −2/38 = 5.26%। पैटर्न तोड़ने वाला एक दांव अमेरिकी पाँच-नंबर दांव है: नियम कहता है उसे 6.2 से 1 देना चाहिए, वह 6 देता है, और उसकी लागत 7.89% है।
Keno, लॉटरी-जैसा खेल, लगाए गए का 25% या अधिक रखता है। यदि कैसीनो रूलेट व्हील में शून्य जोड़कर भुगतान न बदले, तो रूलेट को keno जितना महँगा बनाने के लिए कितने शून्य चाहिए?
समाधान दिखाएँ
उत्तर बारह शून्य: 48-पॉकेट व्हील।
z शून्यों पर व्हील में 36 + z पॉकेट हैं, और भुगतान फिर भी 36 मानते हैं। ऊपर की पहेली के नियम से हर दांव 36 + z स्पिनों में z इकाइयाँ हारता है, इसलिए हाउस एज z/(36 + z) है।
इसे एक-चौथाई के बराबर रखें: 4z = 36 + z, इसलिए z = 12। 48-पॉकेट व्हील पर बारह शून्यों की लागत 25% होगी।
लास वेगास स्ट्रिप का ट्रिपल-ज़ीरो व्हील, जो सबसे महँगा रूलेट अधिकांश खिलाड़ियों को मिलेगा, उसमें इसका एक-चौथाई शून्य हैं।
शून्यपॉकेटहाउस एज1372.70%2385.26%3397.69%44010.00%124825.00%मैसाचुसेट्स लॉटरी ने 2023 में 36 नंबर और बिना शून्य वाला व्हील शुरू किया। एक नंबर 1 के बदले 25 देता है, और लाल, कालादांवकाला18 काली संख्याओं पर सम-धन दांव। फ़्रेंच: noir।पूरा पढ़ें →, विषम या सम 2 के बदले 3 देता है। बिना शून्य के, क्या यह रूलेट से सस्ता है?
समाधान दिखाएँ
उत्तर नहीं, बहुत महँगा: नंबर पर 30.56% और लाल या काले पर 25%, यूरोपीय व्हील के 2.70% के मुकाबले।
“के लिए” में दांव शामिल है। $1 का नंबर दांव 36 ड्रॉ में औसतन एक बार $25 लौटाता है: $36 लगाए पर $25 वापस, 36 में $11 की हानि, 30.56%।
लाल पर $2 का दांव आधे समय $3 लौटाता है: हर $4 लगाए पर $3 वापस, 25% की हानि।
शून्य कीमत तय करने का केवल एक तरीका है। रूलेट 36 पॉकेट मानकर भुगतान करती और 37वाँ जोड़ती है; इस व्हील में 36 पॉकेट हैं और बस कम भुगतान है। Bollman (2024) इसे अभ्यास के रूप में देता है।
कैसीनो 1 से 36 तक के ग्यारह अभाज्य नंबरोंगणितअभाज्य संख्या1 से बड़ी वह पूर्ण संख्या जिसे केवल 1 और वह स्वयं पूरी तरह विभाजित करते हैं: 2, 3, 5, 7, 11, 13 आदि।पूरा पढ़ें → पर नया दांव चाहता है: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 और 31। यूरोपीय व्हील के हर दूसरे दांव जैसी 2.70% लागत के लिए इसे कितना भुगतान देना चाहिए? 2 से 1 पर इसकी लागत क्या होगी?
समाधान दिखाएँ
उत्तर 25 से 11, लगभग 2.27 से 1। 2 से 1 पर इसकी लागत 10.81% होगी।
पहली पहेली का नियम लें: n नंबरों पर दांव 1 के बदले (36 − n)/n देता है। n = 11 पर वह 25/11 से 1 है, एक असुविधाजनक भुगतान, क्योंकि $10 की चिपपैसाचिपनिश्चित राशि दर्शाने वाला टोकन, दांव लगाने के लिए लेआउट पर रखा जाता है। इसे check भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → $22.73 जीतेगी।
2 से 1 पर, $1 दांव 37 में 11 स्पिनों पर $2 जीतता और अन्य 26 में $1 हारता है: हर 37 स्पिन में 22 − 26 = −4 इकाइयाँ, 10.81%।
इसीलिए रूलेट 1, 2, 3, 4, 6, 12 और 18 नंबरों पर दांव बेचती है: 36 इन सब से विभाजित होता है, इसलिए निष्पक्ष भुगतान पूर्ण संख्या है। Taylor (2021) दस अभाज्यों के साथ अभ्यास देते हैं; वे ग्यारह हैं।
हास्य-विराम
हर दांव का 1/37, हर दांव पर, हर स्पिन पर।
स्रोत
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Hunacek, M. Quantitative Literacy Through Games and Gambling.