रूलेट में लगातार परिणामों की प्रायिकता
एक रंग के लंबे क्रम आम हैं। अगली स्पिन के लिए उनका कोई अर्थ भी नहीं है।
लगातार पाँच लाल: 2.7%। दस: 0.074%। 200-स्पिन सत्र में एक रंग के छह का क्रम आधे से अधिक बार दिखता है।
हार का लगातार क्रम कितनी बार आता है
एकल-शून्य व्हील पर सम-धन दांव 37 में से 19 स्पिनों में हारता है। हर पंक्ति किसी दिए गए स्पिन क्रम के सभी हारने की संभावना और बताती है कि हर हार के बाद दांव दोगुना करने वाला Martingale खिलाड़ी तब तक कितना हार चुका है।
| लगातार हार | संभावना | लगभग 1 में | अब तक हारा | अगला दांव |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26.4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13.5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7.0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3.6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1.8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0.94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0.48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0.25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0.13% | 784 | $1,023 | $1,024 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $2,047 | $2,048 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $4,095 | $4,096 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $8,191 | $8,192 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $16,383 | $16,384 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $32,767 | $32,768 |
संभावना 19/37 को हर हार के लिए स्वयं से एक बार गुणा करने पर मिलती है, जिसकी गिनती किसी दिए गए स्पिन से होती है। लंबे सत्र में ऐसे क्रम शुरू होने वाले कई स्पिन होते हैं, इसलिए एक शाम में यह एक पंक्ति के संकेत से कहीं अधिक संभावित है।
एकल क्रम
प्रायिकतागणितप्रायिकतापरिणाम की संभावना, 0 से 1 या 0% से 100% तक। एक संख्या: 1/37 = 2.70%।पूरा पढ़ें → कि अगली k स्पिनों के सभी लालदांवलाल18 लाल संख्याओं पर सम-धन दांव। फ़्रेंच: rouge।पूरा पढ़ें → हों (18/37)ᵏ है। दो: 23.7%। पाँच: 2.7%। दस: 0.074%, लगभग 1 in 1,350। बीस: 1.8 मिलियन में 1। छब्बीस, Monte Carlo रिकॉर्ड: 137 मिलियन में 1। ये किसी विशिष्ट स्पिन से शुरू होने वाले विशिष्ट क्रम की प्रायिकताएँ हैं, जबकि लगभग कोई वास्तव में यह प्रश्न नहीं पूछ रहा होता।
किसी सत्र में
लोगों का अभिप्रेत प्रश्न है “क्या मेरे सत्र में कहीं k का क्रम आएगा?”, और उत्तर (18/37)ᵏ से बहुत बड़ा है क्योंकि 200-स्पिन सत्र क्रम शुरू होने के लगभग 200 स्थान देता है। लाल या कालेदांवकाला18 काली संख्याओं पर सम-धन दांव। फ़्रेंच: noir।पूरा पढ़ें → किसी एक रंग के छह या अधिक का क्रम 200-स्पिन सत्र में लगभग 94% बार, आठ या अधिक लगभग 47% और दस या अधिक लगभग 14% बार आता है। रंग पहले से तय कर दें तो संभावनाएँ घटकर लगभग 75%, 27% और 7% हो जाती हैं। शाम भर बैठा खिलाड़ी हर शाम लंबे क्रम देखेगा।
Martingale को इसकी चिंता क्यों है
हर नकारात्मक प्रगतिरणनीतिप्रगति-क्रमपिछले परिणामों के आधार पर दांव बदलने वाला कोई नियम। नकारात्मक प्रगति-क्रम हार के बाद बढ़ाते हैं, सकारात्मक जीत के बाद।पूरा पढ़ें → के पास उसे तोड़ने वाली क्रम-लंबाई होती है: $500 की सीमा पर $10 आधार से छह हार, Fibonacciरणनीतिफ़िबोनाची1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… क्रम का अनुसरण करने वाला प्रगति-क्रम: हार के बाद एक कदम आगे, जीत के बाद दो कदम पीछे।पूरा पढ़ें → के लिए दस, दर्जनोंदांवदर्जन1–12, 13–24 या 25–36, भुगतान 2:1।पूरा पढ़ें → पर तीन गुना करने के लिए पाँच। सम-धन पर लगातार छह हार की प्रायिकता (19/37)⁶ ≈ 1.8% प्रति प्रयास है, और 200-स्पिन सत्र में शायद 100 प्रयास होते हैं, इसलिए इतना ब्रेक लगभग पाँच में चार ऐसे सत्रों में आता है। रूलेट में क्रमों की प्रायिकता ही कारण है कि यह चट्टान दुर्लभ नहीं है।
गरम और ठंडे नंबर
वही गणित स्ट्रेट-अपदांवस्ट्रेट-अपएक संख्या, भुगतान 35:1।पूरा पढ़ें → पर लागू होता है। 300 स्पिन में प्रति नंबर अपेक्षित गिनती 8.1 है; मानक विचलनगणितमानक विचलनप्रसरण का वर्गमूल; परिणाम की अपेक्षित मान से सामान्य दूरी।पूरा पढ़ें → लगभग 2.8 है। हर बार केवल संयोग से कोई नंबर 15 हिट और कोई 2 दिखाएगा। “गरम” नंबर उभारता परिणाम बोर्ड सामान्य वितरण की चोटी उभार रहा है। लैब बताती है कि गरम नंबरमिथकगर्म संख्याऐसी संख्या जो हाल में अपेक्षा से अधिक बार आई है। निष्पक्ष व्हील पर वह कुछ नहीं बताती।पूरा पढ़ें → के मायने होने से पहले कितनी स्पिन चाहिए (हजारों, एक पहचाने हुए व्हील से)।
स्वतंत्रता ही मुख्य बात है
लगातार दस लाल काले को अधिक संभावित नहीं बनाता और लाल को भी नहीं। दोनों 18/37 हैं। क्रम यादृच्छिक अनुक्रमों की विशेषता हैं और उनकी अनुपस्थिति संदिग्ध होगी: 200 स्पिन का ऐसा अनुक्रम जिसमें चार से लंबा कोई क्रम न हो, बारह के क्रम वाले अनुक्रम से छेड़छाड़ का कहीं अधिक सशक्त साक्ष्य होगा।
सूत्र
प्रश्न
18 August 1913 को Monte Carlo में 26 काले प्रसिद्ध रिकॉर्ड है। 1943 में अमेरिकी कैसीनो में लगातार 32 लाल की सूचना मिली थी। कैसीनो जितनी स्पिन चलाते हैं, उसे देखते हुए दोनों संयोग के अनुरूप हैं।
दोनों ओर 18/37 है। अपनी योजना के अनुसार दांव लगाएँ, या बिल्कुल नहीं।
नहीं। पक्षपात हजारों स्पिन में कुछ पॉकेटोंउपकरणपॉकेटरोटर पर 37 क्रमांकित खानों में से एक। इसे स्लॉट, कप भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → के अधिक आने के रूप में दिखता है, रंग के क्रमों के रूप में नहीं।
गणित के साथ मनोरंजन
पहले इन्हें स्वयं आज़माएँ। हर समाधान बंद है; तैयार होने पर इसे खोलें।
यूरोपीय व्हील के औसतन कितने स्पिन लगते हैं, इससे पहले कि सभी 37 नंबर कम-से-कम एक बार आ चुके हों?
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उत्तर औसतन लगभग 155 स्पिन; माध्यिका 147 है।
एक-एक नए नंबर की प्रतीक्षा गिनें। पहला स्पिन हमेशा नया नंबर दिखाता है। 1 नंबर देख लेने पर, 37 में 36 पॉकेटउपकरणपॉकेटरोटर पर 37 क्रमांकित खानों में से एक। इसे स्लॉट, कप भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → नए हैं, इसलिए अगले नए नंबर में औसतन 37/36 स्पिन लगते हैं। k नंबर देख लेने पर 37/(37 − k) लगते हैं।
प्रतीक्षाएँ जोड़ें: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4.20 = 155.5 स्पिन।
इसका अधिकांश अंत में है। अकेले अंतिम नंबर में औसतन 37 स्पिन और अंतिम पाँच में लगभग 85 लगते हैं। अमेरिकी व्हील पर वही योग लगभग 161 देता है। यह कूपन-कलेक्टर की समस्या है; वही औसत मानक गणना से भी मिलता है।
यूरोपीय व्हील के 37 स्पिनों में, हर पॉकेट के लिए एक स्पिन, कितने अलग नंबर देखने की अपेक्षा करनी चाहिए?
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उत्तर लगभग 23.6। मोटे तौर पर एक-तिहाई नंबर, लगभग 13, बिल्कुल नहीं आते।
एक नंबर लें, मान लें 17। हर स्पिन पर उसके न आने का अवसर 36/37 है, इसलिए सभी 37 स्पिनों में उसके छूटने का अवसर (36/37)³⁷ ≈ 0.363 है।
हर नंबर का अवसर समान है, इसलिए औसतन 37 × 0.363 ≈ 13.4 नंबर गायब हैं और 37 − 13.4 ≈ 23.6 आते हैं, जिनमें से बहुत से दो या अधिक बार।
रूलेट खिलाड़ी इसे तिहाइयों का नियम कहते हैं। यह कोई नियम नहीं, केवल दोहरावों का अंकगणित है: व्हील जितने लंबे क्रम में लगभग एक-तिहाई नंबर बाहर बैठते हैं, निष्पक्ष व्हील पर भी और किसी अन्य पर भी। 38 पॉकेटों पर अंश (37/38)³⁸ ≈ 0.363 भी है; बड़े व्हील के लिए वह 1/e ≈ 0.368 के पास स्थिर होता है।
एक मित्र आपको लालदांवलाल18 लाल संख्याओं पर सम-धन दांव। फ़्रेंच: rouge।पूरा पढ़ें → या कालेदांवकाला18 काली संख्याओं पर सम-धन दांव। फ़्रेंच: noir।पूरा पढ़ें → रंगों की 50 की दो सूचियाँ दिखाता है, जिनके बारे में कहा जाता है कि वे शून्योंव्हीलशून्यएकल हरा पॉकेट जिसे कोई सम-धन, दर्जन या कॉलम दांव कवर नहीं करता; हाउस एज का स्रोत। इसे सिंगल ज़ीरो, 0 भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → को हटाए हुए व्हील से आई हैं। एक रंग 25 बार बदलती है और उसका सबसे लंबा क्रम छह है। दूसरी 35 बार बदलती है और कभी तीन से आगे नहीं जाती। कौन-सी बनाई गई है?
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उत्तर दूसरी। असली सूची लगभग 24 या 25 बार रंग बदलती है। 35 बदलाव वाली सूची लगभग 500 में एक बार आती है, और तीन से लंबा क्रम न होने वाली लगभग 100 में दो बार।
हर नया रंग पिछले को दोहराता या बदलता है, आधा-आधा, इसलिए बदलने के 49 अवसर औसतन 24.5 बदलाव देते हैं, लगभग 3.5 के अंतर के साथ। पैंतीस औसत से ऐसे तीन कदम ऊपर है; निष्पक्ष व्हील इतनी बार बदलाव लगभग 500 सूचियों में एक बार देता है।
क्रम वही कहानी कहते हैं। 50 की असली सूची में चार या अधिक का क्रम लगभग 98% समय होता है, और उसका सबसे लंबा क्रम प्रायः पाँच या छह होता है।
लोग जब यादृच्छिक सूची बनाने को कहे जाते हैं तो बहुत अधिक बदलते हैं, क्योंकि चार या पाँच का क्रम उन्हें पैटर्न लगता है। Taylor (2021) ने छात्रों द्वारा बनाई सिक्का-उछाल सूचियों में यही संकेत दिखाया: असली यादृच्छिकता लोगों की अपेक्षा से अधिक लगातार परिणामों के क्रम दिखाती है।
कैसीनो कथाओं की एक पुस्तक ऐसे खिलाड़ी का वर्णन करती है जिसका नंबर लगातार पाँच बार आया और उसे रिकॉर्ड कहती है। यूरोपीय व्हील पर यह कितना दुर्लभ है? और 20 टेबलों वाले एक कैसीनो में, जहाँ हर टेबल दिन-रात प्रति घंटे 40 बार स्पिन करती हो, ऐसा कहीं कितनी बार होना चाहिए?
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उत्तर नामित नंबर का लगातार पाँच बार आना: 69 मिलियन में 1। पहला नंबर आने के बाद कोई भी नंबर उसके बाद चार और बार आए: 1.87 मिलियन में 1। वह कैसीनो साल में लगभग 7 मिलियन बार स्पिन करता है, इसलिए पाँच के क्रम साल में तीन या चार बार देखने चाहिए।
नामित नंबर हर स्पिन में 1/37 अवसर से आता है, इसलिए लगातार पाँच की प्रायिकता (1/37)⁵ = 6,93,43,957 में 1 है। लेकिन कोई पहले से नंबर नामित नहीं करता। जो भी पहले आए, अगले चार स्पिनों को उसे दोहराना है: (1/37)⁴ = 18,74,161 में 1।
20 टेबल × 40 स्पिन × 24 घंटे × 365 दिन = प्रति वर्ष 70,08,000 स्पिन। हर स्पिन क्रम शुरू कर सकता है, इसलिए कैसीनो 70,08,000/18,74,161 ≈ प्रति वर्ष 3.7 पाँच के क्रम अपेक्षित करता है।
ऐसे प्रकार का कोई आधिकारिक रिकॉर्ड नहीं है और उसकी जरूरत भी नहीं: एक टेबल पर दुर्लभ घटना पूरे कैसीनो में सामान्य है, और कहानियाँ उसी टेबल की कही जाती हैं जहाँ वह हुई। Goldman (2007) की कहानी डबल-ज़ीरो व्हील पर है, जहाँ आंकड़े 79 मिलियन में 1 और 2.09 मिलियन में 1 हैं।
हास्य-विराम
लंबे क्रम ही यादृच्छिकता जैसे दिखते हैं।
स्रोत
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.