समस्या: टेबल सीमा
$500 टेबल पर $10 का Martingale। वह कितनी बार टूटता है, टूटने पर कितनी हानि करता है और क्या सीमा बढ़ाने से मदद मिलती है?
लगातार छह हार इसे तोड़ती हैं: प्रति चक्र 1.8%, लगभग 100-स्पिन सत्रों के 60% में। टूटने की लागत $630 है। सीमा $5,000 करने पर टूटना दुर्लभ (प्रति चक्र 0.25%) और बड़ा ($5,110) होता है। हर सीमा पर प्रति डॉलर लगाए दांव की अपेक्षित हानि 2.70% है।
समस्या
खिलाड़ी लालदांवलाल18 लाल संख्याओं पर सम-धन दांव। फ़्रेंच: rouge।पूरा पढ़ें → पर $10 लगाता है और हर हार के बाद दांव दोगुना करता है, जीत के बाद फिर आरंभ करता है। टेबल की अधिकतम सीमा $500 है। (a) कितनी लगातार हार प्रगतिरणनीतिप्रगति-क्रमपिछले परिणामों के आधार पर दांव बदलने वाला कोई नियम। नकारात्मक प्रगति-क्रम हार के बाद बढ़ाते हैं, सकारात्मक जीत के बाद।पूरा पढ़ें → को तोड़ती हैं? (b) प्रति चक्र प्रायिकतागणितप्रायिकतापरिणाम की संभावना, 0 से 1 या 0% से 100% तक। एक संख्या: 1/37 = 2.70%।पूरा पढ़ें → क्या है? (c) टूटने पर कितना खोया जाता है? (d) $5,000 की सीमा उत्तरों को कैसे बदलती है? (e) क्या कोई सीमा प्रणाली को लाभकारी बनाती है?
हल (a)–(c)
दांव: 10, 20, 40, 80, 160, 320। सातवाँ 640 > 500 होगा, इसलिए छह हार इसे तोड़ती हैं। (b) लाल पर p(loss) = 19/37; (19/37)⁶ = 0.0183, प्रति चक्र लगभग 1.8%। एक चक्र औसतन लगभग दो स्पिन का है, इसलिए 100-स्पिन सत्र में लगभग 50 चक्र होते हैं और p(at least one break) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%। (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, जो $10 के उस लाभ के मुकाबले 63 आधार इकाइयाँपैसाइकाईआधार दांव जिसमें कोई प्रणाली या खिलाड़ी काम करता है। प्रगति-क्रम इकाइयों में वर्णित होते हैं ताकि वे किसी भी टेबल पर लागू हों।पूरा पढ़ें → है जिसे चक्र जीतने का प्रयास कर रहा था।
हल (d)
$5,000 पर: 2,560 तक के दांव मान्य हैं; दसवाँ दांव, 5,120, अस्वीकार होता है। नौ हार इसे तोड़ती हैं: (19/37)⁹ ≈ 0.25% प्रति चक्र, लगभग 100-स्पिन सत्रों के 11% में। टूटने पर हानि: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110। खिलाड़ी ने बड़ी की कीमत पर दुर्लभ तबाही खरीदी है। कई सत्रों में टूटने की अपेक्षित लागत $500 सीमा पर p × loss ≈ 0.0183 × 630 = $11.5 प्रति चक्र और $5,000 पर 0.0025 × 5,110 = $12.8 है; गोलाई के भीतर यह वही संख्या है, और यह चक्र की अपेक्षित हानिगणितअपेक्षित हानिकुल लगाई राशि से गुणा किया गया अपेक्षित मान; सत्र या अवधि में औसतन खोई राशि।पूरा पढ़ें → में से जीतने वाले चक्रों से अर्जित $10 घटाने पर बचने वाला भाग है।
हल (e)
नहीं। प्रति चक्र अपेक्षित हानि = (चक्र में अपेक्षित कुल दांव) / 37, हर सीमा पर, क्योंकि हर दांव स्वयं का −1/37 है। सीमा केवल यह तय करती है कि हानि कई छोटी जीतों और कुछ बड़ी हारों में कैसे बाँटी जाती है। कोई सीमा और अनंत खेलने की पूंजीपैसाखेलने की पूंजीखेल के लिए अलग रखी कुल राशि। खेलने की पूंजी प्रबंधन यह तय करना है कि प्रति दांव और प्रति सत्र इसका कितना जोखिम लें।पूरा पढ़ें → न हो तो प्रगति इस अर्थ में “काम” करेगी कि वह कभी नहीं टूटेगी, और वह असीमित राशि पर दांव लगाएगी जिसकी अपेक्षित हानि उस असीमित राशि का 2.70% है। टेबल सीमाटेबलटेबल सीमाअनुमत न्यूनतम और अधिकतम दांव। अधिकतम ही दोगुनी प्रगति-क्रमों को रोकता है।पूरा पढ़ें → Martingaleरणनीतिमार्टिंगेलहर हार के बाद दांव दोगुना करने वाला प्रगति-क्रम। यह क्या करता है और क्या नहीं, उसके लिए रणनीति भाग देखें।पूरा पढ़ें → को काम करने से नहीं रोकती। गणित रोकता है।
दो वास्तविक टेबल
Thorp का उदाहरण $1 टेबल का है जिसकी अधिकतम सीमा $1,000 है, जहाँ खिलाड़ी रात के खाने के लिए एक-एक डॉलर करके $30 जीतना चाहता है। 1, 2, 4 … 512 के दांव दस दांव की अनुमति देते हैं, इसलिए लगातार दस हार प्रगति तोड़ती हैं: यूरोपीय व्हील पर 785 चक्रों में एक बार (अमेरिकी पर 613 में एक बार), $1,023 की लागत पर। तीसों चक्र 96.2% समय सफल होते हैं। बाकी 3.8% में लगभग $1,000 खोता है और शाम का औसत परिणाम −$9.17 है, जो ठीक 1/37 है उन तीस चक्रों द्वारा औसतन लगाए $339 का। $2,000 अधिकतम वाली $5 टेबल अलग नहीं: $1,280 तक के दांव नौ दांव की अनुमति देते हैं और ब्रेक यूरोपीय व्हील पर 403 चक्रों में एक बार (अमेरिकी पर 323 में एक बार) आता है तथा $2,555 की लागत होती है।
एक धनी खिलाड़ी
कम सीमा के बजाय प्रगति को गहरी खेलने की पूंजी दें: 1,000 इकाइयाँ, एक-इकाई आधार और लाल पर 1,000 स्पिन; जब अगला दोगुना बची राशि से अधिक हो, तब फिर एक इकाई से शुरू करें। हमने ऐसी दस लाख शामों का सिमुलेशन किया। यूरोपीय व्हील पर 52% आगे समाप्त होते हैं, 21% सब कुछ हारते हैं और औसत परिणाम −124 इकाइयाँ है। शून्यव्हीलशून्यएकल हरा पॉकेट जिसे कोई सम-धन, दर्जन या कॉलम दांव कवर नहीं करता; हाउस एज का स्रोत। इसे सिंगल ज़ीरो, 0 भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → रहित खेल में भी, जहाँ हर दांव निष्पक्ष है, केवल लगभग 60% आगे समाप्त होंगे। सामान्य शाम छोटी जीत है; औसत का भुगतान उन शामों से होता है जो शून्य पर समाप्त होती हैं।
सबक
कैसीनो अपने प्रसरणगणितप्रसरणअपेक्षित मान के चारों ओर परिणाम कितने व्यापक फैले हैं इसका माप। स्ट्रेट-अप के लिए अधिक, सम-धन दांवों के लिए कम।पूरा पढ़ें → को सीमित करने के लिए सीमाएँ तय करते हैं, प्रणालियों को हराने के लिए नहीं। Martingale को हराना ऐसा पार्श्व प्रभाव है जिसे वे खुशी से रखते हैं और गणित इसे वैसे भी हरा देता। जो खिलाड़ी सीमा को समस्या मानता है, उसने चट्टान ढूँढ ली है और उसे ढलान समझ लिया है।
सूत्र
प्रश्न
वह आपको ऊँची सीमा तक जीवित रहने देती है, जहाँ टूटना दुर्लभ और बड़ा है। प्रति डॉलर अपेक्षित हानि अपरिवर्तित है।
दांव 10, 30, 70, 150, 310 हैं: $500 सीमा पाँच हार के बाद लगती है और टूटने की लागत $570 है। वही 2.70%।
ताकि एक खिलाड़ी कैसीनो के उस रिज़र्व से अधिक दांव न लगा सके जिसका भुगतान वह आसानी से कर सकता है। प्रसरण प्रबंधन।
गणित के साथ मनोरंजन
पहले इन्हें स्वयं आज़माएँ। हर समाधान बंद है; तैयार होने पर इसे खोलें।
एक Martingaleरणनीतिमार्टिंगेलहर हार के बाद दांव दोगुना करने वाला प्रगति-क्रम। यह क्या करता है और क्या नहीं, उसके लिए रणनीति भाग देखें।पूरा पढ़ें → लालदांवलाल18 लाल संख्याओं पर सम-धन दांव। फ़्रेंच: rouge।पूरा पढ़ें → पर $100 से शुरू होती है और एक चक्र में अधिकतम n दांव लगाती है: लगातार n हारों के बाद वह छोड़कर फिर से शुरू करती है। एक चक्र का औसत परिणाम n के सूत्र के रूप में लिखें, और यूरोपीय व्हील पर 5, 6 और 7 दांवों के लिए निकालें।
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उत्तर औसत 100 × (1 − (38/37)ⁿ) है: 5 दांवों के लिए −$14.26, 6 के लिए −$17.35 और 7 के लिए −$20.52। अधिक दांवों की अनुमति औसत चक्र को बेहतर नहीं, बदतर बनाती है।
चक्र $100 जीतता है, सिवाय इसके कि सभी n दांव हारें, जिसका अवसर qⁿ है, जहाँ q = 19/37। सभी हारने पर दांव 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ का योग 100 × (2ⁿ − 1) है। इसलिए औसत 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ) है।
यहाँ 2q = 38/37, 1 से थोड़ा अधिक, इसलिए (2q)ⁿ, n के साथ बढ़ता और औसत घटता है: n = 5 पर 1.1426 और −$14.26; n = 6 पर 1.1735 और −$17.35; n = 7 पर 1.2052 और −$20.52। लंबी सीढ़ी कम बार हारती है, 3.6%, 1.8% और 0.9% चक्रों में, लेकिन हर हार दुगुनी बड़ी है, और हर चक्र में अधिक पैसा टेबल पार करता है, हर दांव पर 2.70%।
अमेरिकी व्हील पर 2q = 40/38 और आंकड़े −$29.24, −$36.04 और −$43.20 हैं (Taylor, 2021)। बिना शून्यव्हीलशून्यएकल हरा पॉकेट जिसे कोई सम-धन, दर्जन या कॉलम दांव कवर नहीं करता; हाउस एज का स्रोत। इसे सिंगल ज़ीरो, 0 भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → वाले खेल में 2q = 1 है और सीढ़ी चाहे जितनी लंबी हो हर चक्र का औसत ठीक शून्य है।
“grand Martingale” हार के बाद दांव दोगुना करती और एक इकाईपैसाइकाईआधार दांव जिसमें कोई प्रणाली या खिलाड़ी काम करता है। प्रगति-क्रम इकाइयों में वर्णित होते हैं ताकि वे किसी भी टेबल पर लागू हों।पूरा पढ़ें → जोड़ती है, इसलिए दांव 1, 3, 7, 15, 31 … चलते हैं। पहली जीत 1वें, 2वें, 3वें या kth दांव पर आने पर आप कितनी इकाइयाँ आगे हैं? $10 की इकाई और $500 अधिकतम पर चक्र कितनी बार टूटता है, और औसतन चक्र की लागत क्या है?
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उत्तर kth दांव पर जीत आपको k इकाइयाँ आगे छोड़ती है: +1, +2, +3 और आगे। $10 और $500 पर चक्र पाँच हारों बाद टूटता है, 3.57% चक्रों में, −$570 के लिए। औसतन एक चक्र $85.73 लगाए में से $2.32 हारता है: 2.70%।
kth दांव 2ᵏ − 1 इकाइयाँ है: 1, 3, 7, 15, 31। पहले k − 1 दांवों का योग 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1 है। kth दांव की जीत 2ᵏ − 1 देती है, इसलिए चक्र (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k इकाइयाँ आगे समाप्त होता है: जीत से पहले हर हार के लिए एक अतिरिक्त इकाई।
$10 की इकाई पर दांव $10, $30, $70, $150 और $310 हैं; अगला, $630, $500 अधिकतम से ऊपर है। लगातार पाँच हारें, (19/37)⁵ = 3.57%, की लागत 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570 है।
औसत: k = 1 से 5 के लिए जीतें (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 अवसर से $10 × k लाती हैं, और टूटना 3.57% अवसर से $570 लेता है; साथ में −$2.32। लगाई राशि का औसत प्रति चक्र $85.73 है, और 2.32/85.73 = 2.70%। उसी टेबल पर सामान्य Martingale छह हारों बाद, 1.83% चक्रों में, −$630 के लिए टूटती है, और $64.20 लगाए में से $1.74 हारती है: फिर 2.70%।
एक खिलाड़ी लाल पर $1 के पहले दांव से Martingale की योजना बनाता है, उस टेबल पर जिसकी सीमा $1,000 है, इसलिए दस दांव संभव हैं: $1, $2, $4 और इसी तरह $512 तक। चक्र कितनी बार सभी दस हारता है, औसतन उसमें कितना समय लगता है, और 200 दांवों की शाम कितनी बार इस तरह समाप्त होती है?
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उत्तर चक्र सभी दस लगभग 784 में एक बार हारता है, जिसकी लागत $1,023 है। यह औसतन लगभग 1,600 दांव है, और 200 दांवों की शाम लगभग 11% समय दीवार से टकराती है। फिर भी चक्र $11.31 लगाए में से औसतन $0.31 हारता है: 2.70%।
लाल पर दांव 19/37 अवसर से हारता है, जिसमें शून्य शामिल है। लगातार दस: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128, लगभग 784 में 1। दांव 1 + 2 + 4 + … + 512 का योग $1,023 है।
एक चक्र औसतन 2.05 दांव लेता है, इसलिए 784 चक्र लगभग 1,600 दांव लेते हैं। स्पिन-दर-स्पिन गिनने पर, लगातार दस हारों का क्रम 200 दांवों में कहीं 11.3% अवसर से आता है।
आपदाओं के बीच खिलाड़ी प्रति चक्र $1 जीतता है: बुरे चक्र से पहले लगभग $783, फिर −$1,023, पूरे खिंचाव में लगभग −$240। प्रति चक्र: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31। प्रति चक्र लगाई राशि: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31। और −0.31/11.31 = −2.70%।
$500 सीमा पर $10 के पहले दांव, छह दांवों से तुलना करें: दीवार 55 चक्रों में एक बार आती है, और 200 दांवों की शाम 84% समय उससे मिलती है। ऊँची सीमा गिरावट को दुर्लभ और बड़ा बनाती है, सस्ता नहीं।
हास्य-विराम
हर सीमा पर अधिक दुर्लभ और बड़ा। गुणनफल स्थिर है।
स्रोत
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.