दीर्घ-अवधि अभिसरण: रूलेट में बड़ी संख्याओं का नियम
औसत −2.70% की ओर कैसे स्थिर होता है और इसमें अंतर्ज्ञान से अधिक समय क्यों लगता है।
स्पिन बढ़ने पर प्रति स्पिन औसत हानि −1/37 की ओर अभिसरित होती है और फैलाव 1/√N की तरह घटता है। लाल पर 1,000 स्पिन के बाद औसत सामान्यतः अपनी अपेक्षा के ±3% के भीतर है।
बड़ी संख्याओं का नियम
स्वतंत्र दांवों का चालू औसत अपेक्षित मानगणितअपेक्षित मानलंबी अवधि में प्रति दांव औसत परिणाम। हर मानक यूरोपीय दांव के लिए दांव का −1/37।पूरा पढ़ें → की ओर झुकता है। एक इकाईपैसाइकाईआधार दांव जिसमें कोई प्रणाली या खिलाड़ी काम करता है। प्रगति-क्रम इकाइयों में वर्णित होते हैं ताकि वे किसी भी टेबल पर लागू हों।पूरा पढ़ें → पर N सम-धन स्पिनों के बाद प्रति स्पिन औसत परिणाम की अपेक्षा −1/37 और मानक विचलनगणितमानक विचलनप्रसरण का वर्गमूल; परिणाम की अपेक्षित मान से सामान्य दूरी।पूरा पढ़ें → 1/√N है। N = 100 पर वह फैलाव दांव का 10% है, 2.7% संकेत से लगभग चार गुना। N = 1,000 पर वह 3.2% है, संकेत के लगभग बराबर। N = 10,000 पर वह 1% है और एज साफ़ दिखाई देता है। सत्र में एज अदृश्य और वर्ष में असंदिग्ध है।
क्या अभिसरित होता है और क्या नहीं
प्रति स्पिन औसत अभिसरित होता है। कुल नहीं: N बढ़ने पर वह शून्य से और दूर जाता है, अपेक्षा में लगभग N का 2.7%, जिसके चारों ओर √N का फैलाव है। $10 पर 10,000 स्पिन खेल चुके खिलाड़ी के $2,700 नीचे होने की अपेक्षा है, $1,000 आगे-पीछे। लालदांवलाल18 लाल संख्याओं पर सम-धन दांव। फ़्रेंच: rouge।पूरा पढ़ें → का चालू अनुपात बहुत पहले 48.65% के पास स्थिर हो चुका है; चालू शेष कहीं स्थिर नहीं हुआ है।
- p10 −$440
- p25 −$280
- मध्यिका −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
अंतर्ज्ञान क्यों विफल होता है
लोग एज के जल्दी दिखने की अपेक्षा करते हैं क्योंकि 2.70% बहुत लगता है, और लंबे क्रमों के “बराबर हो जाने” की क्योंकि बड़ी संख्याओं का नियमगणितबड़ी संख्याओं का नियमस्वतंत्र परिणामों का औसत, परीक्षणों की संख्या बढ़ने पर अपेक्षित मान की ओर अभिसरित होता है।पूरा पढ़ें → कहता है कि औसत अभिसरित होते हैं। दोनों अंतर्ज्ञान पैमाना गलत समझते हैं: एकल स्पिन के प्रसरणगणितप्रसरणअपेक्षित मान के चारों ओर परिणाम कितने व्यापक फैले हैं इसका माप। स्ट्रेट-अप के लिए अधिक, सम-धन दांवों के लिए कम।पूरा पढ़ें → की अपेक्षा एज छोटा है (σ = 1 इकाई जबकि EV = 0.027), इसलिए एक-सिग्मा दिखाई देने में (1/0.027)² ≈ 1,400 स्पिन लगती हैं। और औसत का अभिसरण कुल को वापस खींचने के लिए कुछ नहीं करता; वह केवल पिछले उतार-चढ़ाव को पतला करता है।
अन्य दांवों के लिए अभिसरण
स्ट्रेट-अपदांवस्ट्रेट-अपएक संख्या, भुगतान 35:1।पूरा पढ़ें → के लिए σ = 5.84 है, इसलिए वही गणना एज को एक सिग्मा तक पहुँचने के लिए (5.84/0.027)² ≈ 47,000 स्पिन देती है। स्ट्रेट-अप खिलाड़ी वर्षों तक खेल सकता है बिना अपने रिकॉर्ड में एज को भाग्य से अलग कर सके, जबकि लाल वाला खिलाड़ी जो इसे सप्ताहों में देखता है, ठीक वही 2.70% चुकाता है।
प्रणालियों के परीक्षण का निहितार्थ
किसी प्रणाली के काम करने का दावा करने वाले को 10,000 या अधिक स्पिन में दर्ज सकारात्मक औसत दिखाना चाहिए। 1,000 स्पिन में सम-धन पर सकारात्मक औसत शून्य परिकल्पना के तहत पाँच में एक घटना है; 100 स्पिन में वह लगभग सिक्का उछालने जैसा है। इस साइट के सिम्युलेटर एक सेकंड में आपकी चुनी अवधि के 2,000 सत्र चलाते हैं, जो किसी भी प्रशंसापत्र से अधिक साक्ष्य है।
सूत्र
प्रश्न
खेलते रहने पर फिर कभी आगे होने की प्रायिकतागणितप्रायिकतापरिणाम की संभावना, 0 से 1 या 0% से 100% तक। एक संख्या: 1/37 = 2.70%।पूरा पढ़ें → शून्य की ओर घटती है। कुल बिना सीमा नीचे जाता है।
नहीं। इसका अर्थ है कि पिछले उतार-चढ़ाव बड़े नमूने का छोटा अंश बनते हैं।
सम-धन के लिए लगभग 10,000, एज के साफ़ दिखने से पहले। स्ट्रेट-अप के लिए लगभग 50,000।
गणित के साथ मनोरंजन
पहले इन्हें स्वयं आज़माएँ। हर समाधान बंद है; तैयार होने पर इसे खोलें।
दो मित्र निष्पक्ष खेलगणितनिष्पक्ष खेलऐसा खेल जिसमें किसी पक्ष को एज न हो: हर दांव का अपेक्षित मान शून्य हो।पूरा पढ़ें →—सिक्का उछालना, या ऐसा लालदांवलाल18 लाल संख्याओं पर सम-धन दांव। फ़्रेंच: rouge।पूरा पढ़ें → बनाम कालादांवकाला18 काली संख्याओं पर सम-धन दांव। फ़्रेंच: noir।पूरा पढ़ें → दांव जिसमें शून्यव्हीलशून्यएकल हरा पॉकेट जिसे कोई सम-धन, दर्जन या कॉलम दांव कवर नहीं करता; हाउस एज का स्रोत। इसे सिंगल ज़ीरो, 0 भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → आने पर दांव लौटाया जाता है—के 20 राउंड खेलते हैं और चलता हुआ स्कोर रखते हैं। उन राउंडों को गिनें जिनमें हर एक आगे है (टाई में वह आगे माना जाए जो ठीक पहले आगे था)। किसकी संभावना अधिक है: बढ़त 10 राउंड बनाम 10 में बाँटी हुई हो, या एक मित्र पूरे 20 में आगे हो?
समाधान दिखाएँ
उत्तर एक मित्र का पूरे 20 राउंड आगे रहना कहीं अधिक संभावित है: दोनों में से किसी एक को गिनें तो 35.2%, जबकि बराबर 10 से 10 के लिए 6.1%।
निष्पक्ष चलते स्कोर के 2k राउंड बाद बराबर होने की प्रायिकता u = C(2k, k)/2²ᵏ है: 10 राउंड बाद 0.246 और 20 बाद 0.176। एक शास्त्रीय परिणाम, arc-sine law, कहता है कि 2n राउंडों में एक नामित मित्र के ठीक 2k राउंड आगे रहने की प्रायिकता u(2k) × u(2n − 2k) है।
पूरे 20 में आगे: हर मित्र के लिए u(20) × u(0) = 0.176, दोनों में से किसी के लिए 35.2%। बराबर हिस्सा: u(10) × u(10) = 0.246² = 6.1%, सभी हिस्सों में सबसे कम संभावित।
इसलिए निष्पक्ष खेल में बढ़त कम ही हाथ बदलती है। जो खिलाड़ी पूरी शाम आगे, या पूरी शाम पीछे रहा हो, उसने कुछ असामान्य नहीं देखा, और इससे व्हील या कौशल के बारे में कुछ नहीं कहा जा सकता। Epstein (2013) लंबे खेलों के लिए वही नियम देते हैं: आधे समय अधिक भाग्यशाली पक्ष 85% से अधिक खेल में आगे रहता है।
हास्य-विराम
औसत अभिसरित होता है। कुल बस दूर चला जाता है।
स्रोत
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.