जुआरी का भ्रम
यह विश्वास कि कोई परिणाम कुछ समय से न आने के कारण अब “आना चाहिए”।
लगातार दस लाल के बाद भी काले की प्रायिकता 18/37 है। व्हील कोई रिकॉर्ड नहीं रखता और उसका कोई ऋण नहीं है।
भ्रम
यदि लालदांवलाल18 लाल संख्याओं पर सम-धन दांव। फ़्रेंच: rouge।पूरा पढ़ें → दस बार आ चुका है, तो कई खिलाड़ियों को लगता है कि कालादांवकाला18 काली संख्याओं पर सम-धन दांव। फ़्रेंच: noir।पूरा पढ़ें → अब “देय” है और वे उसी अनुसार दांव लगाते हैं। दूसरों को लाल “गरम” लगता है और वे उसी पर दांव लगाते हैं। दोनों एक ऐसे क्रम से तर्क कर रहे हैं जो समाप्त हो चुका है, उस स्पिन के बारे में जो अभी हुआ नहीं है। गेंदउपकरणगेंदछोटी गेंद जो रोटर के विरुद्ध ट्रैक पर छोड़ी जाती है। आधुनिक गेंदें आइवोरिन या टेफ़्लॉन की होती हैं, 18–21 mm।पूरा पढ़ें → को नहीं मालूम कि पिछली दस स्पिन क्या थीं; पॉकेटउपकरणपॉकेटरोटर पर 37 क्रमांकित खानों में से एक। इसे स्लॉट, कप भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → उतने ही आकार के हैं जितने एक घंटा पहले थे; काले की प्रायिकतागणितप्रायिकतापरिणाम की संभावना, 0 से 1 या 0% से 100% तक। एक संख्या: 1/37 = 2.70%।पूरा पढ़ें → हमेशा की तरह 18/37 है।
यह सच जैसा क्यों लगता है
लंबे समय में लाल और काले का अनुपात सचमुच प्रत्येक के लिए 18/37 की ओर अभिसरित होता है। बड़ी संख्याओं का नियमगणितबड़ी संख्याओं का नियमस्वतंत्र परिणामों का औसत, परीक्षणों की संख्या बढ़ने पर अपेक्षित मान की ओर अभिसरित होता है।पूरा पढ़ें → इसकी गारंटी देता है। लेकिन अभिसरण सुधार से नहीं, पतले होने से होता है: 1,000 और स्पिनों के बाद दस अतिरिक्त लाल अनुपात में गोलाई की त्रुटि बन जाते हैं, इसलिए नहीं कि काला बराबर आ गया, बल्कि इसलिए कि नमूना बढ़ गया। ऐसी कोई प्रक्रिया नहीं है जो काले को अधिक संभावित बनाती हो, और बड़ी संख्याओं का नियम ऐसी प्रक्रिया की माँग नहीं करता।
Monte Carlo, 18 August 1913
Casino de Monte-Carlo की एक टेबल पर काला लगातार 26 बार आया। लगभग पंद्रहवें काले से खिलाड़ी लाल पर टूट पड़े, हर हार के बाद दांव दोगुना और फिर दोगुना करते हुए; हर स्पिन उन्हें पिछली से “अधिक निश्चित” लगती थी। कैसीनो ने लाखों फ्रैंक जीते। पहले काले से शुरू करके इस क्रम की प्रायिकता 137 million में 1 थी, और दुनिया के कैसीनो में कहीं न कहीं अंततः इसके होने की प्रायिकता मूलतः एक थी। इसी कारण जुआरी के भ्रम को Monte Carlo भ्रम भी कहा जाता है।
कुछ असाधारण नहीं। 44 में एक बार होता है।
खिलाड़ी ध्यान देने लगते हैं। लाल “देय” है।
टेबल भीड़ से भर जाती है। हर हार के बाद लाल पर दांव दोगुने किए जाते हैं।
भाग्य नष्ट होते हैं। हर नया काला लाल को और निश्चित महसूस कराता है।
क्रम समाप्त होता है। कैसीनो ने उन लोगों से लाखों फ्रैंक जीते जिन्होंने ऐसे क्रम के विरुद्ध दांव लगाया जो यह “जान” नहीं सकता था कि वह क्रम है।
गरम हाथ
किसी रंग का समर्थन इसलिए करना कि वह क्रम में है, उसी गलती का उलटा रूप है: क्रम के समाप्त होने के बजाय जारी रहने की अपेक्षा की जाती है। मनोवैज्ञानिक इसे गरम हाथमिथकहॉट हैंडयह विश्वास कि जीतों का लगातार सिलसिला, या किसी एक परिणाम का लगातार सिलसिला, अगला परिणाम अधिक संभावित करता है। व्हील पर यह जुआरी का उलटा भ्रम है।पूरा पढ़ें → कहते हैं; यह नाम Gilovich, Vallone और Tversky के 1985 के अध्ययन से आया, जिसने बास्केटबॉल शूटिंग में क्रम खोजे और संयोग से परे कोई नहीं पाए। 2018 में Miller और Sanjurjo ने दिखाया कि परीक्षण स्वयं झुका हुआ था: छोटे रिकॉर्ड में हिट के ठीक बाद हिट का हिस्सा औसतन खिलाड़ी की समग्र दर से नीचे निकलता है, इसलिए बिलकुल गरम हाथ न रखने वाला खिलाड़ी भी थोड़ा ठंडा दिखता है। सुधारने पर वही आँकड़े मामूली गरम हाथ दिखाते हैं। व्यक्ति गरम हो सकता है; व्हील की कोई ऐसी अवस्था नहीं होती। कुछ खिलाड़ी दोनों विश्वास साथ रखते हैं: क्रम “बहुत लंबा” होने तक चलता है और फिर खत्म हो जाता है। निष्पक्ष व्हील पर हर रूप का अपेक्षित मानगणितअपेक्षित मानलंबी अवधि में प्रति दांव औसत परिणाम। हर मानक यूरोपीय दांव के लिए दांव का −1/37।पूरा पढ़ें → सिक्का उछालकर रंग चुनने जैसा है: दांव का −2.70%।
वास्तविक टेबल पर
Croson और Sundali (2005) ने Reno के एक बड़े कैसीनो में एक डबल-ज़ीरोव्हीलशून्यएकल हरा पॉकेट जिसे कोई सम-धन, दर्जन या कॉलम दांव कवर नहीं करता; हाउस एज का स्रोत। इसे सिंगल ज़ीरो, 0 भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → टेबल की सुरक्षा वीडियो के 18 घंटे देखे: 139 खिलाड़ियों के 24,131 दांव। सम-धन दांवोंदांवसम-धन दांवलाल/काला, विषम/सम, हाई/लो। 18 संख्याएँ, भुगतान 1:1।पूरा पढ़ें → में खिलाड़ी छोटे क्रमों का अनुसरण करने और उनके विरुद्ध जाने में लगभग समान बँटे थे। लगातार एक ही तरह के पाँच परिणामों के बाद वे क्रम के विरुद्ध झुके, और छह या अधिक के बाद उनके 85% दांव दूसरी ओर थे। उन्हीं खिलाड़ियों ने अपने बारे में गरम हाथ दिखाया: नंबरों पर जीत के बाद अगली स्पिन पर वे औसतन 13.6 नंबर कवर करते थे, हार के बाद 9.2 के विरुद्ध। उनके व्हील में पक्षपात का कोई संकेत नहीं था, इसलिए इससे उनकी अपेक्षा में कोई बदलाव नहीं आया।
कैसीनो के बाहर
वही आकर्षण वहाँ भी दिखता है जहाँ वास्तविक निर्णय लिए जाते हैं। Clotfelter और Cook (1993) ने Maryland के दैनिक नंबर खेल का अनुसरण किया: किसी नंबर के निकाले जाते ही उस पर लगाई राशि तीव्रता से घट गई और लौटने में महीने लगे, जबकि ड्रॉ की कोई स्मृति नहीं होती। Chen, Moskowitz और Shue (2016) ने इसे पेशेवरों में पाया। United States के शरण न्यायाधीश, यदि उन्होंने पिछला मामला मंजूर किया था, तो अगला मामला अस्वीकार करने की संभावना 3.3 प्रतिशत अंक तक अधिक थी। बेसबॉल अंपायर स्ट्राइक बुलाने के बाद दूसरी स्ट्राइक बुलाने की संभावना में 1.5 अंक कम थे, और निकट पिचों पर इससे दोगुने से अधिक। एक समान शुल्क पाने वाले ऋण अधिकारियों के क्षेत्र-प्रयोग में, निर्णयों के 9% तक इसी तरह पलटे गए। मामले यादृच्छिक क्रम में आए, इसलिए पिछला निर्णय अगले के बारे में कुछ नहीं कहता था, जैसे पिछली स्पिन अगले के बारे में कुछ नहीं कहती।
उलटा जुआरी का भ्रम
दार्शनिक Ian Hacking (1987) ने तीसरे रूप को नाम दिया। कोई व्यक्ति कमरे में आता है, पासों की जोड़ी को डबल सिक्स पर रुकते देखता है और निष्कर्ष निकालता है कि उन्हें पहले ही बहुत बार फेंका गया होगा। हर फेंक में डबल सिक्स की प्रायिकता समान है, चाहे वह शाम की पहली हो या हजारवीं; इसलिए दृश्य खेल के चलने की अवधि के बारे में कुछ नहीं कहता। रूलेट में यह वह खिलाड़ी है जो आठ लाल दिखाता बोर्ड देखकर तय करता है कि उन्हें बनाने के लिए टेबल घंटों से घूम रही होगी। सामान्य भ्रम अतीत को अगली स्पिन में पढ़ता है; यह दुर्लभ दृश्य को ऐसे अतीत में पढ़ता है जिसे किसी ने नहीं देखा।
एक मनोवैज्ञानिक जिसने इसे माना
भ्रम के विद्वान समर्थक भी रहे हैं। जर्मन मनोवैज्ञानिक Karl Marbe ने प्रत्येक 49,152 जन्मों के चार रजिस्टर देखे, पाया कि लगातार लड़कों या लड़कियों का सबसे लंबा क्रम 17 था, और निष्कर्ष निकाला कि लंबे क्रम संयोग से अनुमति मिलने से दुर्लभ हैं, इसलिए क्रम दूसरे परिणाम को अधिक संभावित बनाता है। केवल संयोग कुछ और कहता है: 1,96,608 जन्मों में 17 या अधिक का क्रम लगभग पाँच में चार बार आता है। Marbe ने ठीक वही पाया था जो यादृच्छिक क्रम जैसा दिखता है। Epstein (2013) यह मामला फिर सुनाते हैं; Probability of Streaks इसका रूलेट संस्करण देता है।
जहाँ भ्रम लागू नहीं होता
यदि व्हील में भौतिक पक्षपात हो, तो पिछली स्पिनें जानकारीपूर्ण होंगी, क्योंकि वे भाग्य के बजाय पॉकेटों के साक्ष्य होंगी। यही लैब का विषय है, और कुछ कहने के लिए एक पहचाने हुए व्हील से हजारों स्पिन चाहिए। अज्ञात व्हील पर लगातार दस लाल के लिए, पक्षपात की व्याख्या संयोग वाली व्याख्या से बहुत कम संभावित है।
प्रश्न
नहीं। यह किसी भी स्वतंत्र आवर्ती घटना पर लागू होता है: पासे, सिक्के, लॉटरी नंबर।
अनुपात पास आ जाएँगे। आपका परिणाम फिर भी आपकी लगाई राशि का लगभग −2.70% होगा।
औसत का कोई नियम नहीं है। बड़ी संख्याओं का नियम है, और वह पतला करने से काम करता है।
गणित के साथ मनोरंजन
पहले इन्हें स्वयं आज़माएँ। हर समाधान बंद है; तैयार होने पर इसे खोलें।
10 उछालों के बाद एक सिक्के में 7 हेड और 3 टेल आते हैं। 1,000 उछालों के बाद 517 हेड और 483 टेल आते हैं। क्या टेल ने अंतर भर दिया?
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उत्तर नहीं। अंतर 4 से बढ़कर 34 हो गया। केवल अनुपात सम के करीब आया।
हेड और टेल का अनुपात 7/3, लगभग 2.33, से घटकर 517/483, लगभग 1.07 हुआ। यहाँ बड़ी संख्याओं का नियमगणितबड़ी संख्याओं का नियमस्वतंत्र परिणामों का औसत, परीक्षणों की संख्या बढ़ने पर अपेक्षित मान की ओर अभिसरित होता है।पूरा पढ़ें → काम कर रहा है।
उनके बीच अंतर 4 से 34 हो गया। निष्पक्ष सिक्के में 1,000 उछालों के बाद लगभग 30 का अंतर सामान्य है: सामान्य अंतर उछालों की संख्या के वर्गमूल के लगभग बढ़ता है, जबकि अनुपात 1 की ओर स्थिर होता है।
कुछ भी टेल को वापस नहीं खींच रहा था। हेड की शुरुआती अधिकता अगले 990 उछालों में अनुपात के रूप में कम हुई, सुधरी नहीं।
एक सिक्का चार बार उछालें और केवल उन उछालों को देखें जो किसी हेड के ठीक बाद आते हैं। उनमें से कितना हिस्सा हेड है? सभी 16 संभावित अनुक्रमों के लिए निकालें और हिस्सों का औसत लें। क्या वह 50% है?
समाधान दिखाएँ
उत्तर नहीं। वह 17/42, लगभग 40.5% है। इस ढंग से देखने पर निष्पक्ष सिक्का हेड के बाद ठंडा पड़ता हुआ लगता है।
16 अनुक्रम लिखें। उनमें से दो, TTTT और TTTH, में पहले तीन उछालों में हेड नहीं है, इसलिए हेड के बाद कुछ नहीं आता; 14 बचते हैं।
हर एक में, हेड के बाद वाले उछाल लें और उनमें हेड का हिस्सा निकालें। HHHH में 3 में 3 हैं। HHHT में 3 में 2। HTHT में 2 में 0। सभी 14 में: छह अनुक्रम 0 देते हैं, चार 1/2, एक 2/3 और तीन 1 (HHHH, THHH और TTHH)।
हिस्से जोड़ें: 4 × 1/2 + 2/3 + 3 = 17/3। 14 से भाग दें: 17/42 ≈ 40.5%।
कोई उछाल टेल के पक्ष में नहीं है; हर एक 50–50 है। झुकाव अनुक्रम-दर-अनुक्रम औसत लेने से आता है: हेडों से भरे अनुक्रम में देखने के लिए बहुत उछाल होते हैं, लेकिन उसकी गिनती एक ही होती है, उसी तरह जैसे केवल एक हेड वाले अनुक्रम की। Miller और Sanjurjo (2018) ने दिखाया कि 1985 के hot-hand अध्ययन ने अपने बास्केटबॉल खिलाड़ियों को इसी तरह मापा था, इसलिए जिन खिलाड़ियों में संयोग से अधिक लगातार परिणामों के क्रम नहीं दिखते थे, उनमें वास्तव में ऐसे क्रम कुछ अधिक थे।
हास्य-विराम
पतलापन, सुधार नहीं। व्हील का कोई ऋण नहीं है।
स्रोत
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Schwartz, D. G. Roll the Bones: The History of Gambling.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Croson, R. & Sundali, J. “The gambler’s fallacy and the hot hand: empirical data from casinos.”
- Chen, D. L., Moskowitz, T. J. & Shue, K. “Decision making under the gambler’s fallacy: evidence from asylum judges, loan officers, and baseball umpires.”
- Clotfelter, C. T. & Cook, P. J. “The ‘gambler’s fallacy’ in lottery play.”
- Gilovich, T., Vallone, R. & Tversky, A. “The hot hand in basketball: on the misperception of random sequences.”
- Miller, J. B. & Sanjurjo, A. “Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers.”
- Hacking, I. “The inverse gambler’s fallacy: the argument from design. The anthropic principle applied to Wheeler universes.”