कंगाल होने का जोखिम
लक्ष्य तक पहुँचने से पहले अपनी पूरी खेलने की पूंजी खो देने की प्रायिकता।
सम-धन दांवों के लिए कंगाल होने का जोखिम जुआरी के कंगाल होने के सूत्र का अनुसरण करता है। $500 की खेलने की पूंजी, $10 के दांव और $600 के लक्ष्य पर आप लगभग 57% बार लक्ष्य तक पहुँचते हैं और शेष बार कंगाल हो जाते हैं।
प्रश्न
आपके पास इकाइयोंपैसाइकाईआधार दांव जिसमें कोई प्रणाली या खिलाड़ी काम करता है। प्रगति-क्रम इकाइयों में वर्णित होते हैं ताकि वे किसी भी टेबल पर लागू हों।पूरा पढ़ें → में a खेलने की पूंजीपैसाखेलने की पूंजीखेल के लिए अलग रखी कुल राशि। खेलने की पूंजी प्रबंधन यह तय करना है कि प्रति दांव और प्रति सत्र इसका कितना जोखिम लें।पूरा पढ़ें → है और आप a + b इकाइयों तक पहुँचने के लिए एक बार में एक इकाई का सम-धन दांवदांवसम-धन दांवलाल/काला, विषम/सम, हाई/लो। 18 संख्याएँ, भुगतान 1:1।पूरा पढ़ें → लगाना चाहते हैं, जिसकी जीत प्रायिकतागणितप्रायिकतापरिणाम की संभावना, 0 से 1 या 0% से 100% तक। एक संख्या: 1/37 = 2.70%।पूरा पढ़ें → p = 18/37 और हार प्रायिकता q = 19/37 है। शून्य पर पहुँचने से पहले लक्ष्य तक पहुँचने की संभावना क्या है? इसका उत्तर 1650 के दशक में पास्कल, फर्मा और ह्यूजेंस ने निकाला था और यह प्रायिकता के सबसे पुराने परिणामों में से एक है।
जुआरी के कंगाल होने का सूत्र
P(reach target) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ)। कंगाल होने का जोखिमगणितकंगाल होने का जोखिमलक्ष्य या स्पिन गिनती तक पहुँचने से पहले पूरी खेलने की पूंजी खोने की प्रायिकता।पूरा पढ़ें → इसका एक में से घटाया हुआ मान है। q/p = 19/18 ≈ 1.0556 होने पर अनुपात इकाइयों की संख्या के साथ घातांकीय रूप से बढ़ता है, इसलिए सूत्र छोटी इकाइयों को कठोर दंड देता है: लक्ष्य तक पहुँचने में जितने अधिक दांव लगते हैं, रास्ते में 2.70% शुल्क उतनी ही बार चुकता होता है।
इसे पढ़ना
छोटी इकाइयाँ नुकसान करती हैं। $10 के दांवों से $500 को दोगुना करने का प्रयास 6% बार सफल होता है; $500 के एक ही दांव से वह 48.6% बार सफल होता है। नकारात्मक-अपेक्षा वाले खेल में साहसी खेल, अर्थात कम और बड़े दांव, लक्ष्य पाने की संभावना अधिकतम करता है, क्योंकि इससे एज लगने की बारें कम से कम होती हैं। यह आपके परिणामों के प्रसरणगणितप्रसरणअपेक्षित मान के चारों ओर परिणाम कितने व्यापक फैले हैं इसका माप। स्ट्रेट-अप के लिए अधिक, सम-धन दांवों के लिए कम।पूरा पढ़ें → को भी अधिकतम करता है और शाम जल्दी समाप्त कर देता है। इस प्रमेय को “साहसी खेल सर्वोत्तम है” कहा जाता है और इसे ड्यूबिन्स और सैवेज ने 1965 में सिद्ध किया था।
समस्या कहाँ से शुरू हुई
यह प्रश्न रूलेट से भी पुराना है। 1656 में पास्कल ने फर्मा को एक पहेली दी: दो खिलाड़ी तीन पासे फेंकते हैं, दोनों 12 गोटियों से शुरू करते हैं; 11 आने पर एक गोटी एक दिशा में, 14 आने पर दूसरी दिशा में चलती है। दोनों ने इसे हल किया, और गणितज्ञ पियरे द कार्कावी के पत्र से सुनने वाले ह्यूजेंस ने 1657 में प्रायिकता पर पहली पुस्तक के पाँचवें प्रश्न के रूप में इसे, उत्तर के साथ पर बिना प्रमाण के, छापा। ग्यारह 27 तरीकों से और चौदह केवल 15 तरीकों से आ सकता है, इसलिए हर गोटी पहले खिलाड़ी की दिशा में 14 में 9 बार चलती है, और ऊपर के सूत्र में दोनों की 12 गोटियाँ रखने पर उसके सब कुछ जीतने की संभावना सब कुछ हारने की तुलना में लगभग 1,157 गुना है। 2.70% एज बहुत छोटा है, पर वही सूत्र कई दांवों में उसका असर दिखाता है।
एक असली साहसी दांव
अप्रैल 2004 में युवा अंग्रेज एश्ली रेवेल ने अपने कपड़ों सहित लगभग अपना सब कुछ बेच दिया और $1,35,300 लेकर लास वेगास के Plaza पहुँचा। कुछ छोटे दांवों के बाद उसने पूरी राशि एक बार लालदांवलाल18 लाल संख्याओं पर सम-धन दांव। फ़्रेंच: rouge।पूरा पढ़ें → पर लगाई। बॉलउपकरणगेंदछोटी गेंद जो रोटर के विरुद्ध ट्रैक पर छोड़ी जाती है। आधुनिक गेंदें आइवोरिन या टेफ़्लॉन की होती हैं, 18–21 mm।पूरा पढ़ें → लाल 7 पर आकर रुकी और वह $2,70,600 लेकर बाहर निकला। डबल-ज़ीरोव्हीलशून्यएकल हरा पॉकेट जिसे कोई सम-धन, दर्जन या कॉलम दांव कवर नहीं करता; हाउस एज का स्रोत। इसे सिंगल ज़ीरो, 0 भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → व्हील पर उस एक स्पिन में संभावना 47.37% थी और एक दांव के 5.26% एज के कारण औसतन उसकी लागत $7,121 थी। $10 के दांवों में फैलाने पर वही लक्ष्य लगभग निराशाजनक होता। साहसी खेल दांव को अच्छा नहीं बनाता; वह उसे यथासंभव छोटा बनाता है।
लक्ष्य के बिना कंगाल होने का जोखिम
यदि आप केवल कंगाल होने तक खेलते हैं या N स्पिनों के बाद रुकते हैं, तो प्रश्न बनता है “N स्पिनों के भीतर मेरी खेलने की पूंजी के शून्य को छूने की संभावना क्या है?” सामान्य N के लिए कोई बंद रूप नहीं है, पर इस साइट के सिम्युलेटर इसे निकालते हैं: लाल पर $10 के साथ $500 की खेलने की पूंजी 100 स्पिनों में लगभग कभी कंगाल नहीं होती (1% से कम), 500 में लगभग 9% बार और 5,000 में लगभग 95% बार कंगाल होती है। बिना रुकने के नियम के प्रायिकता 100% की ओर जाती है, जो हाउस एजगणितहाउस एजहर दांव का वह हिस्सा जिसे कैसीनो औसतन रखता है: यूरोपीय रूलेट में 2.70%।पूरा पढ़ें → का दीर्घकालीन रूप है।
- p10 −$500
- p25 −$500
- मध्यिका −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
कितनी देर, और कितना आगे
दो और पारंपरिक परिणाम उन प्रश्नों का उत्तर देते हैं जो खिलाड़ी वास्तव में पूछते हैं। लक्ष्य के बिना, यूरोपीय व्हील पर समतल सम-धन दांव खेलने की पूंजी की हर इकाई के लिए औसतन 37 स्पिन चलते हैं और अमेरिकी पर 19, क्योंकि हर स्पिन औसतन इकाई का 1/37 लेता है (अमेरिकी व्हील पर 1/19): 100 इकाइयाँ औसतन 3,700 स्पिन चलती हैं, हालाँकि ऐसे आधे सत्र 3,134 के भीतर समाप्त हो जाते हैं (Session Length and Cost देखें)। और खेलने की पूंजी कितनी भी बड़ी हो, यूरोपीय व्हील पर कभी k इकाइयाँ आगे होने की संभावना (18/19)ᵏ है। यह एक इकाई के लिए 95% और दस के लिए 58% है, पर कोई भी खेलने की पूंजी, कितनी भी गहरी, 13 इकाइयाँ आगे पहुँचने की सम संभावना नहीं देती; अमेरिकी व्हील पर संभावना (9/10)ᵏ है और 7 इकाइयों पर आधे से नीचे गिरती है।
पचास-पचास संभावना के लिए खेलने की पूंजी
प्रश्न उलटें: सब कुछ खोने से पहले कोई निश्चित राशि जीतने की कम-से-कम पचास-पचास संभावना के लिए आपको कितनी राशि लानी होगी? छोटी जीत के लिए बहुत नहीं। बड़ी जीत के लिए आवश्यक खेलने की पूंजी तेजी से बढ़ती है, और एक बिंदु के बाद कोई राशि पर्याप्त नहीं, क्योंकि अंतहीन राशि भी कभी इतने आगे पहुँचने की पचास-पचास संभावना से कम देती है। टेलर (2021) इसे दूसरे ढंग से कहते हैं: अमेरिकी व्हील पर 100 इकाइयों तक पहुँचने की पचास-पचास संभावना के लिए आपको 94 से शुरू करना होगा, 6 जीतने के लिए 94 जोखिम में डालते हुए। यूरोपीय व्हील पर 88 चाहिए होंगे।
व्यावहारिक सीख
तय करें कि आप क्या करना चाहते हैं। यदि लक्ष्य एक निश्चित जीत है, बड़े लेकिन कम दांव लगाएँ। यदि लक्ष्य लंबी शाम है, छोटा दांव लगाएँ और स्वीकार करें कि एज आपकी बड़ी कुल दांव-राशिपैसाकुल दांव-राशिसत्र या अवधि में लगाई कुल राशि, फिर से लगाई जीतों सहित। इसे हैंडल, एक्शन भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → का 2.70% लेगा। यदि लक्ष्य दोनों हैं, तो कुछ छोड़ना पड़ेगा, और वह आम तौर पर लक्ष्य होता है।
सूत्र
प्रश्न
मार्टिंगेलरणनीतिमार्टिंगेलहर हार के बाद दांव दोगुना करने वाला प्रगति-क्रम। यह क्या करता है और क्या नहीं, उसके लिए रणनीति भाग देखें।पूरा पढ़ें → छोटे सत्रों के लिए इसे घटाता है और लंबे सत्रों में इसे बहुत बढ़ाता है। बड़ी इकाई के साथ समतल दांवरणनीतिस्थिर दांवहर स्पिन पर समान राशि लगाना। वही आधार जिसके विरुद्ध हर प्रगति-क्रम की तुलना होती है।पूरा पढ़ें → इसे घटाने का ईमानदार तरीका है।
ऊपर का सूत्र सम-धन के लिए है। अधिक-प्रसरण वाले दांवों में छोटे दांव पर कंगाल होने की संभावना अधिक होती है और लक्ष्य असमान ढंग से मिलता है; कैलकुलेटर प्रयोग करें।
लक्ष्य की ओर हर कदम कंगाल होने की ओर हर कदम से थोड़ा कम संभावित है; यह अनुपात कदमों की संख्या में संयोजित होता है।
गणित के साथ मनोरंजन
पहले इन्हें स्वयं आज़माएँ। हर समाधान बंद है; तैयार होने पर इसे खोलें।
आपके पास $100 हैं और आप केवल लालदांवलाल18 लाल संख्याओं पर सम-धन दांव। फ़्रेंच: rouge।पूरा पढ़ें → पर दांव लगाकर $1,000 चाहते हैं। योजना एक: हर बार $1 लगाएँ। योजना दो: $500 पार करने तक अपना सब कुछ लगाएँ, फिर $1,000 पहुँचने भर लगाएँ। कौन-सी योजना बेहतर है और कितनी?
समाधान दिखाएँ
उत्तर योजना दो, बहुत बेहतर है। वह लगभग 9.0% समय $1,000 पहुँचती है, निष्पक्ष 10% के पास। योजना एक लगभग 10²² में 7 बार सफल होती है।
निष्पक्ष खेलगणितनिष्पक्ष खेलऐसा खेल जिसमें किसी पक्ष को एज न हो: हर दांव का अपेक्षित मान शून्य हो।पूरा पढ़ें → में आप जो भी करें, $100 से $1,000 दस में एक बार पहुँचते, क्योंकि आपके पैसे का औसत मान $100 रहता है।
एज हर दांव का 2.70% लेता है, इसलिए जितना कम कुल दांव लगाते हैं, उतना ही दस में एक के निकट रहते हैं। योजना दो कुछ ही दांवों में निर्णय कर देती है: $100, $200, $400, $800 बनता है, और फिर $200 पर्याप्त है। वह लगभग 9.0% समय सफल होती है। योजना एक में चाल समाप्त होने से पहले हजारों दांव लगते हैं, और हर पर छोटा एज मिलकर लगभग निश्चित कंगाली बन जाता है।
यह Dubins–Savage परिणाम का सबसे सरल रूप है (Epstein, 2013): हाउस के पक्ष वाले खेल में जितना चाहिए उतना, जितनी कम बार हो सके, लगाएँ।
आपके पास $500 हैं और $1,000 होते ही रुकना चाहते हैं। आप एक प्रकार का दांव चुनते हैं और उसके एक बार जीतने या पैसे खत्म होने तक उसे दोहराते हैं। किस प्रकार का दांव सबसे अच्छी संभावना देता है?
समाधान दिखाएँ
उत्तर लाल पर एक $500 दांव: 48.6%। हर योजना जो पैसे को छोटे दांवों में फैलाती है, इससे बदतर है।
हर दांव ऐसा चुनें कि एक जीत पर्याप्त हो: स्ट्रेट-अपदांवस्ट्रेट-अपएक संख्या, भुगतान 35:1।पूरा पढ़ें → पर $30 से $1,050 जीतते हैं, स्प्लिटदांवस्प्लिटदो आसन्न संख्याएँ, भुगतान 17:1।पूरा पढ़ें → पर $60 से $1,020, और इसी तरह। फिर गिनें कि पैसे खत्म होने से पहले कम-से-कम एक दांव जीतने की प्रायिकता क्या है। सोलह $30 स्ट्रेट-अप सभी के चूकने की प्रायिकता (36/37)¹⁶ = 64.5% है, इसलिए वे 35.5% समय $1,000 पहुँचते हैं।
तालिका हर दांव दिखाती है। लाल सबसे अच्छा है क्योंकि वह एक दांव में पहुँचता है, इसलिए एज केवल $500 पर एक बार चुकता है। सिक्स लाइनदांवसिक्स लाइनदो आसन्न पंक्तियों में छः संख्याएँ, भुगतान 5:1। फ़्रेंच: sixain।पूरा पढ़ें → दूसरे स्थान पर है क्योंकि उसे केवल तीन चाहिए। एक दर्जनदांवदर्जन1–12, 13–24 या 25–36, भुगतान 2:1।पूरा पढ़ें → दांव सबसे खराब, 12/37 का अवसर है; $250 इकाइयोंपैसाइकाईआधार दांव जिसमें कोई प्रणाली या खिलाड़ी काम करता है। प्रगति-क्रम इकाइयों में वर्णित होते हैं ताकि वे किसी भी टेबल पर लागू हों।पूरा पढ़ें → में $1,000 या अधिक होने तक खेलने पर भी दर्जन केवल 46.4% समय पहुँचता है।
Bollman (2024) अमेरिकी व्हील के लिए वही तालिका बनाता है। उसकी दर्जन पंक्ति में गलती है: उसे 12/38 = 31.6% पढ़ना चाहिए।
दांवदांव की राशि × दांवों की संख्या$1,000 पहुँचने की प्रायिकतास्ट्रेट-अप$30 × 1635.5%स्प्लिट$60 × 835.9%स्ट्रीट$90 × 534.5%कॉर्नर$125 × 436.7%सिक्स लाइन$166, $166, $16841.2%दर्जन$500 × 132.4%लाल$500 × 148.6%आप लाल पर एक इकाई, स्पिन-दर-स्पिन, ऐसी खेलने की पूंजीपैसाखेलने की पूंजीखेल के लिए अलग रखी कुल राशि। खेलने की पूंजी प्रबंधन यह तय करना है कि प्रति दांव और प्रति सत्र इसका कितना जोखिम लें।पूरा पढ़ें → से लगाते हैं जो कभी खत्म नहीं होती। पहले स्पिन के बाद आप एक इकाई आगे या एक इकाई पीछे हैं। ठीक बराबर पर कभी फिर लौट आने की प्रायिकता क्या है?
समाधान दिखाएँ
उत्तर 37 में 36, 97.3%। अमेरिकी व्हील पर 38 में 36, 94.7%।
पहला स्पिन जीतने पर (37 में 18), आप एक इकाई आगे हैं, और एज हर अनंत सत्र को नीचे खींचता है, इसलिए देर-सवेर आप बराबर को पार करते हैं: यह निश्चित है। हारने पर (37 में 19), आपको एक इकाई चढ़नी है, और कभी एक इकाई आगे होने की प्रायिकता 18/19 है (ऊपर की तालिका देखें)।
साथ में: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37।
सामान्य रूप में प्रायिकता स्पिन जीतने और हारने की प्रायिकताओं के अंतर से 1 घटाकर है: यूरोपीय व्हील पर 1 − 1/37, अमेरिकी पर 1 − 2/38। बिना शून्यव्हीलशून्यएकल हरा पॉकेट जिसे कोई सम-धन, दर्जन या कॉलम दांव कवर नहीं करता; हाउस एज का स्रोत। इसे सिंगल ज़ीरो, 0 भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → वाले खेल में अंतर कुछ नहीं और प्रायिकता 1 है: स्कोर हमेशा बराबर लौटता है। Epstein (2013) सामान्य नियम देते हैं।
Pascal की 1656 पहेली: दो खिलाड़ी तीन पासे फेंकते हैं, हर एक 12 काउंटरों से शुरू करता है। हर 11 पर एक काउंटर पहले खिलाड़ी को जाता है, हर 14 पर एक दूसरे को; अन्य फेंक गिने नहीं जाते। पहले खिलाड़ी के सभी 24 काउंटर जीतने की प्रायिकता क्या है? और यदि आप इसके बजाय एक ऐसे दोस्त के विरुद्ध, जो बैंक की भूमिका निभाता है, हर स्पिन लाल पर 1 इकाई लगाएँ और दोनों के पास 12 इकाइयाँ हों, तो आपके सभी 24 इकाइयाँ जीतने की प्रायिकता क्या है?
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उत्तर पहला खिलाड़ी 1,158 में लगभग 1,157 बार जीतता है। आप, लाल पर, सभी 24 इकाइयाँ केवल लगभग 34% समय जीतते हैं।
तीन पासों से 11, 27 तरीकों से और 14, 15 तरीकों से बनता है, इसलिए चलने वाला हर काउंटर 42 में 27 बार, 14 में 9 बार, पहले खिलाड़ी को जाता है। हर पक्ष के 12 से शुरू होने पर सब लेने की प्रायिकता 1/(1 + r¹²) है, जहाँ r दूसरे पक्ष के अवसर और आपके अवसर का अनुपात है।
पहले खिलाड़ी के लिए r = 5/9, और (5/9)¹² ≈ 0.00086, इसलिए प्रायिकता लगभग 0.99914: ऑड्स 9¹² से 5¹², या 2,82,42,95,36,481 से 24,41,40,625, लगभग 1,157 से 1। Huygens ने ठीक यही संख्याएँ 1657 में छापीं।
लाल पर, शून्य के कारण r = 19/18 है, और (19/18)¹² ≈ 1.913: आपकी प्रायिकता 1/2.913 ≈ 34.3% है। सिक्का 50% देता। हर दांव का 2.70% एज, लगने वाले बहुत से दांवों में जुड़कर 16-बिंदु का अंतर बना देता है।
हास्य-विराम
साहसी खेल सर्वोत्तम है। वह जल्दी समाप्त भी हो जाता है।
स्रोत
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Huygens को पत्र, 28 September 1656, पास्कल द्वारा फर्मा को दी गई समस्या पर।
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”