केली मानदंड और रूलेट
Kelly कसौटी एज वाले दांव लगाने वाले को बताती है कि कितना दांव लगाना है। रूलेट के लिए इसका स्पष्ट उत्तर है: कुछ नहीं।
Kelly दांव = एज / ऑड्स। नकारात्मक एज पर सूत्र नकारात्मक भिन्न देता है, जिसका अर्थ है दांव न लगाएँ। फिर भी यह समझने में उपयोगी है कि पक्षपात का लाभ लेने वाले खिलाड़ी दांव का आकार ऐसे क्यों तय करते थे और बाकी सबको बजट के अनुसार आकार क्यों तय करना चाहिए।
कसौटी
John Kelly (1956) ने पूछा कि ज्ञात एज वाला जुआरी खेलने की पूंजीपैसाखेलने की पूंजीखेल के लिए अलग रखी कुल राशि। खेलने की पूंजी प्रबंधन यह तय करना है कि प्रति दांव और प्रति सत्र इसका कितना जोखिम लें।पूरा पढ़ें → की दीर्घकालिक वृद्धि अधिकतम करने के लिए दांवों का आकार कैसे तय करे। b से 1 भुगतान वाले दांव में जीत की प्रायिकतागणितप्रायिकतापरिणाम की संभावना, 0 से 1 या 0% से 100% तक। एक संख्या: 1/37 = 2.70%।पूरा पढ़ें → p और हार की प्रायिकता q = 1 − p हो, तो उत्तर खेलने की पूंजी का भिन्न f* = (bp − q) / b लगाना है। धनात्मक f* का अर्थ वह भिन्न लगाएँ; शून्य या ऋणात्मक का अर्थ दांव न लगाएँ। Kelly Bell Labs में काम करते थे और उनके लेख “A new interpretation of information rate” ने समस्या को Claude Shannon के सूचना सिद्धांत में रखा: शोरयुक्त लाइन पर सलाह पाने वाला जुआरी निष्पक्ष ऑड्स पर अधिकतम उसी दर से खेलने की पूंजी बढ़ा सकता है, जिस दर से लाइन सूचना ले जाती है। 1961 में Leo Breiman ने सिद्ध किया कि Kelly दांव, लंबे समय में, किसी भी मौलिक रूप से अलग रणनीति से आगे रहता है और निर्धारित लक्ष्य तक लगभग सबसे कम समय में पहुँचता है।
रूलेट में Kelly दांव
लालदांवलाल18 लाल संख्याओं पर सम-धन दांव। फ़्रेंच: rouge।पूरा पढ़ें → के लिए: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37। स्ट्रेट-अपदांवस्ट्रेट-अपएक संख्या, भुगतान 35:1।पूरा पढ़ें → के लिए: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295। हर मानक दांव नकारात्मक Kelly भिन्न देता है, क्योंकि हर दांव का एज नकारात्मक है, और वृद्धि-अनुकूल दांव शून्य है। रूलेट पर Kelly दांव हाउस-एज पृष्ठ की बात कहने का औपचारिक तरीका है: ऐसा कोई आकार नहीं है जिस पर नकारात्मक-अपेक्षा वाला दांव खेलने की पूंजी बढ़ाए।
जहाँ Kelly लागू हुआ
पक्षपात का लाभ लेने वाले खिलाड़ियों के पास एज और आकार तय करने की समस्या थी। Jagger, García-Pelayos और Eudaemons सभी को मापे हुए लाभ पर कितना दांव लगाना है तय करना था; कम दांव एज को व्यर्थ करता है, अधिक दांव एज दिखने से पहले कंगाल होने का जोखिम उठाता है। 1 in 30 वाले पॉकेटउपकरणपॉकेटरोटर पर 37 क्रमांकित खानों में से एक। इसे स्लॉट, कप भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → के लिए Kelly उस नंबर पर प्रति स्पिन खेलने की पूंजी का 0.57% कहता है: $10,000 पर लगभग $57 प्रति स्पिन, लगभग 0.054% प्रति स्पिन की सामान्य वृद्धि के लिए, या 1,000 स्पिन में ×1.7। औसत लाभ इसका दोगुना, 0.11% प्रति स्पिन है, लेकिन Kelly सामान्य खेलने की पूंजी को लक्ष्य करता है, औसत को नहीं, जिसे कुछ भाग्यशाली क्रम फुला देते हैं। एज का अनुमान अनिश्चित होने के कारण Half-Kelly सामान्य व्यावहारिक विकल्प है।
सामान्य और औसत
सामान्य खेलने की पूंजी और औसत वाली में अंतर बड़ा है। ऐसा पॉकेट लें जो 25 में 1 बार आता है, 44% एज—Thorp के उपकरण के लिए दिया गया आंकड़ा। Kelly उस पर खेलने की पूंजी का 1.26% लगाता है। 1,000 स्पिन के बाद सामान्य खेलने की पूंजी लगभग 11.5 गुना बढ़ी है, जबकि कुछ बहुत भाग्यशाली क्रमों से ऊपर खींची औसत लगभग 249 गुना बढ़ी है। Kelly से अधिक दांव औसत बढ़ाता और सामान्य परिणाम घटाता है: Kelly दांव के दोगुने पर सामान्य खेलने की पूंजी केवल दोगुनी होती है, और Kelly दांव के ढाई गुना पर वह घटती है, यद्यपि हर दांव में अभी भी 44% एज है। कम दांव लगाने की कीमत कम है: आधा दांव वृद्धि का लगभग तीन चौथाई बचाता है।
जब एज अनुमान हो
Kelly मानता है कि एज ज्ञात है। टेबल पर उसका अनुमान लगाया जाता है और अनुमान प्रायः बहुत अधिक होता है। Thorp के 44% पर आधारित Epstein का उदाहरण ऐसा नंबर है जो डबल-ज़ीरोव्हीलशून्यएकल हरा पॉकेट जिसे कोई सम-धन, दर्जन या कॉलम दांव कवर नहीं करता; हाउस एज का स्रोत। इसे सिंगल ज़ीरो, 0 भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → व्हील की 1,225 स्पिन में 49 बार आया: 25 में 1 बार, 44% एज, 1.26% Kelly दांव। लेकिन निष्पक्ष डबल-ज़ीरो व्हील में 38 नंबर हैं और उनमें सबसे व्यस्त नंबर 1,225 स्पिन में 49 या अधिक तक लगभग नौ में एक बार पहुँचता है। किसी भी रिकॉर्ड का सबसे व्यस्त नंबर वही है जिसकी सहायता भाग्य ने सबसे अधिक की, इसलिए सचमुच पक्षपाती पॉकेट भी रिकॉर्ड में वास्तविकता से बेहतर दिखता है: विजेता का अभिशाप। यदि वह पॉकेट वास्तव में निष्पक्ष है तो Kelly दांव बस ऐसा दांव है जो औसतन 5.26% हारता है। सामान्य उत्तर Kelly का अंश लगाना और गिनती तब तक जारी रखना है जब तक नया रिकॉर्ड एज को टिकाऊ न दिखाए (How to Detect Wheel Bias देखें)।
एज वाले लोग
एज जानना उसे अच्छे से इस्तेमाल करने जैसा नहीं है। Haghani और Dewey (2016) ने 61 लोगों को आधे घंटे तक ऐसे सिक्के पर दांव लगाने के लिए प्रत्येक को $25 दिए, जिसके हेड आने की संभावना उन्हें 60% बताई गई थी; जीत $250 पर सीमित थी (खिलाड़ियों को सीमा का पता उस तक पहुँचने पर ही लगा)। Kelly हर बार हेड पर खेलने की पूंजी का 20% लगाने को कहता है और लेखक अनुमान लगाते हैं कि 10–20% के स्थिर दांव लगभग 95% बार सीमा तक पहुँचेंगे। केवल 21% खिलाड़ी वहाँ पहुँचे। 28% कंगाल हुए, 61 में 18 ने एक उछाल पर सब कुछ लगा दिया, लगभग एक तिहाई अपने शुरुआती $25 से नीचे समाप्त हुए और औसत भुगतानपैसाभुगतानजीतने पर दांव से मिलने वाला भुगतान, लौटाई गई दांव-राशि के अतिरिक्त “X to 1” के रूप में बताया जाता है।पूरा पढ़ें → $91 था। 61 में केवल पाँच ने Kelly कसौटी के बारे में सुना था। एज के साथ दांव का आकार तय करता है कि आप उसे रखते हैं या नहीं; निष्पक्ष व्हील पर एज न हो तो कोई आकार मदद नहीं करता।
इसके बजाय क्या अपनाएँ
एज के बिना, आकार तय करना वृद्धि का नहीं बल्कि बजट का प्रश्न है: दांव = वह राशि जिसे आप प्रति स्पिन खर्च करने के लिए तैयार हैं, जो प्रति घंटे के बजट और टेबल की गति से निकाली जाती है (bankroll management पृष्ठ)। सामान्य खिलाड़ी के लिए Kelly का योगदान अपने उत्तर की स्पष्टता है: शून्य। शून्य से ऊपर आपका हर दांव खेलने की कीमत है, आपका चुना हुआ, किसी सूत्र से अनुकूलित नहीं।
भिन्नात्मक Kelly और “मनी मैनेजमेंट” पर टिप्पणी
“रूलेट के लिए Kelly” के रूप में बेची जाने वाली प्रणालियाँ, जो हर दांव में खेलने की पूंजी का नियत प्रतिशत सुझाती हैं, घटते दांव के साथ समान दांवरणनीतिस्थिर दांवहर स्पिन पर समान राशि लगाना। वही आधार जिसके विरुद्ध हर प्रगति-क्रम की तुलना होती है।पूरा पढ़ें → हैं। वे कुल दांव-राशिपैसाकुल दांव-राशिसत्र या अवधि में लगाई कुल राशि, फिर से लगाई जीतों सहित। इसे हैंडल, एक्शन भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → का 2.70% हारती हैं और, क्योंकि हारने पर दांव घटता है, वे कंगालपन को असंभाव्य नहीं बल्कि धीमा बनाती हैं। बजट चलाने का यह ठीक तरीका हो सकता है; यह Kelly नहीं है, जो रुकने को कहेगा।
सूत्र
प्रश्न
केवल मापे हुए एज के साथ, पक्षपात वाले व्हीललैबपक्षपात वाला व्हीलऐसा व्हील जिसके भौतिक दोष कुछ पॉकेटों को 1/37 से अधिक संभावित बनाते हैं। दुर्लभ; केवल हज़ारों दर्ज स्पिनों से पता चलता है।पूरा पढ़ें → या टाइमिंग उपकरण से। निष्पक्ष व्हील पर नहीं।
क्योंकि एज के अनुमान में त्रुटि होती है और अधिक दांव का नुकसान कम दांव से महँगा है। Half-Kelly एक चौथाई प्रसरणगणितप्रसरणअपेक्षित मान के चारों ओर परिणाम कितने व्यापक फैले हैं इसका माप। स्ट्रेट-अप के लिए अधिक, सम-धन दांवों के लिए कम।पूरा पढ़ें → पर वृद्धि के तीन चौथाई देता है।
नहीं। Kelly एज दिए जाने पर वृद्धि अनुकूलित करता है। Bankroll management एज न होने पर खर्च नियंत्रित करता है।
गणित के साथ मनोरंजन
पहले इन्हें स्वयं आज़माएँ। हर समाधान बंद है; तैयार होने पर इसे खोलें।
Thorp और Shannon के पूर्वानुमान उपकरण को लगभग 44% का एज मिला। एक पूर्वानुमानित नंबर पर Kelly, खेलने की पूंजीपैसाखेलने की पूंजीखेल के लिए अलग रखी कुल राशि। खेलने की पूंजी प्रबंधन यह तय करना है कि प्रति दांव और प्रति सत्र इसका कितना जोखिम लें।पूरा पढ़ें → का 1.26% लगाने को कहता है। वही 44% एज यदि पाँच पास-पास के नंबरों में फैले एक दांव पर हो तो क्या होगा?
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उत्तर तब Kelly, खेलने की पूंजी का 7.1% लगाने को कहता है, और खेलने की पूंजी लगभग छह गुना तेजी से बढ़ती है: 1,000 दांवों में लगभग 1.25 मिलियन गुना, लगभग 11.5 गुना के मुकाबले।
44% एज वाला स्ट्रेट-अपदांवस्ट्रेट-अपएक संख्या, भुगतान 35:1।पूरा पढ़ें → 0.04 की प्रायिकता से जीतता है, क्योंकि 36 × 0.04 = 1.44। Kelly का दांव एज को ऑड्स से भाग देने पर है: 0.44/35 = 1.26%। प्रति दांव सामान्य वृद्धि 0.04 × ln(1 + 35 × 0.0126) + 0.96 × ln(1 − 0.0126) ≈ 0.00244 है, इसलिए 1,000 दांव खेलने की पूंजी को लगभग e^2.44 ≈ 11.5 से गुणा करते हैं।
एक दांव को पाँच नंबरों में फैलाने पर वह 0.20 की प्रायिकता से जीतता है और 1 के बदले 36/5 देता है, यानी 6.2 से 1: फिर भी 44% एज, क्योंकि 0.2 × 7.2 = 1.44। Kelly का दांव 0.44/6.2 = 7.10% हो जाता है, और प्रति दांव वृद्धि 0.01404, लगभग 5.75 गुनी होती है। 1,000 दांवों में वह e^14.04, यानी लगभग 1.25 मिलियन गुना है।
एज समान है; उतार-चढ़ाव छोटे हैं। पाँच में एक बार जीतने वाला दांव कंगाल होने का जोखिम उठाए बिना खेलने की पूंजी का अधिक हिस्सा ले सकता है, और Kelly की वृद्धि उसे पुरस्कृत करती है। Thorp (1984) उदाहरण से दिखाते हैं कि पूर्वानुमान वाले खिलाड़ी सेक्टरोंव्हीलसेक्टरव्हील पर पॉकेटों का लगातार चाप, लेआउट के किसी समूह से अलग।पूरा पढ़ें → पर दांव क्यों लगाते हैं। व्यवहार में पाँच पड़ोसी पॉकेटों पर दांवदांवपड़ोसीएक संख्या और व्हील पर उसके दोनों ओर के दो पॉकेट, पाँच स्ट्रेट-अप चिप्स।पूरा पढ़ें → का एज सबसे अच्छे एक नंबर से थोड़ा कम होता है (देखें Advantage Play)।
एक खिलाड़ी ने दो पास-पास के पॉकेटउपकरणपॉकेटरोटर पर 37 क्रमांकित खानों में से एक। इसे स्लॉट, कप भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → पाए हैं जो 37 में 1 के बजाय प्रत्येक 25 में 1 बार आते हैं। क्या उसे उनके बीच के स्प्लिटदांवस्प्लिटदो आसन्न संख्याएँ, भुगतान 17:1।पूरा पढ़ें → पर 17 से 1 लगाना चाहिए, या हर नंबर पर स्ट्रेट-अप? Kelly कितनी दांव-राशि लगाने को कहता है, और एक ऐसे पॉकेट के मुकाबले खेलने की पूंजी कितनी तेजी से बढ़ती है?
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उत्तर कोई अंतर नहीं: स्प्लिट पर खेलने की पूंजी का 2.59%, या हर नंबर पर 1.29%। 1,000 स्पिनों में सामान्य खेलने की पूंजी लगभग 155 गुना बढ़ती है, एक पॉकेट के साथ 11.5 गुना के मुकाबले।
स्प्लिट प्रायिकतागणितप्रायिकतापरिणाम की संभावना, 0 से 1 या 0% से 100% तक। एक संख्या: 1/37 = 2.70%।पूरा पढ़ें → 2/25 = 0.08 से जीतता है और 17 से 1 देता है, इसलिए प्रति इकाईपैसाइकाईआधार दांव जिसमें कोई प्रणाली या खिलाड़ी काम करता है। प्रगति-क्रम इकाइयों में वर्णित होते हैं ताकि वे किसी भी टेबल पर लागू हों।पूरा पढ़ें → लगाए पर 18 × 0.08 = 1.44 लौटाता है: एक पक्षपाती पॉकेट के समान 44% एज। Kelly का दांव एज को ऑड्स से भाग देने पर है: 0.44/17 = 2.59%।
हर एक पर 1.29% के दो स्ट्रेट-अप बिल्कुल वही परिणाम देते हैं। कोई नंबर आने पर एक चिपपैसाचिपनिश्चित राशि दर्शाने वाला टोकन, दांव लगाने के लिए लेआउट पर रखा जाता है। इसे check भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → 35 से 1 जीतती है और दूसरी हारती है, खेलने की पूंजी का शुद्ध 34 × 1.29% = 44%, जैसा स्प्लिट देता है; दोनों में से कोई न आने पर दोनों हारती हैं।
प्रति स्पिन वृद्धि 0.00505 है, एक पॉकेट के 0.00244 के मुकाबले, इसलिए 1,000 स्पिनों में सामान्य खेलने की पूंजी e^5.046 ≈ 155 गुना बढ़ती है, e^2.44 ≈ 11.5 गुना के बजाय। दो अच्छे नंबर, एक अच्छे नंबर के दो गुने से बहुत अधिक मूल्यवान हैं, इसलिए पक्षपात वाले खिलाड़ी नंबरों के समूहों पर दांव लगाते हैं। Thorp (1984) यही तुलना करते हैं।
हास्य-विराम
वृद्धि-अनुकूल रूलेट दांव वह संख्या है जिसे हर कोई पहले से जानता है।
स्रोत
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”