समस्या: जन्मदिन व्हील
किसी नंबर के दोहराने से पहले कितनी स्पिन? अधिकांश लोगों के अनुमान से बहुत कम।
37-पॉकेटउपकरणपॉकेटरोटर पर 37 क्रमांकित खानों में से एक। इसे स्लॉट, कप भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → व्हील पर जन्मदिन समस्या: केवल 8 स्पिन के बाद आधे से अधिक संभावना है कि कोई नंबर पहले ही दो बार आ चुका हो। खिलाड़ी दोहराव को पैटर्न पढ़ते हैं; वे निष्पक्ष व्हील का अपेक्षित व्यवहार हैं।
समस्या
निष्पक्ष यूरोपीय व्हील घुमाइए। कितनी स्पिन के बाद यह प्रायिकतागणितप्रायिकतापरिणाम की संभावना, 0 से 1 या 0% से 100% तक। एक संख्या: 1/37 = 2.70%।पूरा पढ़ें → कि कम-से-कम दो स्पिनों में वही नंबर आया है, आधे से अधिक हो जाती है? अधिकांश खिलाड़ी 37 के आधे के आसपास, 18 या 19, अनुमान लगाते हैं। उत्तर 8 है।
हल
दोहराव न होने की प्रायिकता निकालें और उसे एक से घटाएँ। k स्पिनों के बाद, p(all different) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37)। k = 8 के लिए: 1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44, इसलिए p(some repeat) ≈ 0.56। k = 14 के लिए वह 0.93 है; k = 20 के लिए 0.996। अंतर्ज्ञान विफल होता है क्योंकि स्पिनों के युग्मों की संख्या k² की तरह बढ़ती है और कोई भी युग्म मिल सकता है।
टेबल पर इसका महत्व
पिछले 20 नंबरों का परिणाम बोर्ड लगभग हमेशा कम-से-कम एक दोहराव, और अक्सर दो या तीन दिखाएगा। खिलाड़ी “17 दस स्पिन में दो बार आया” देखते हैं और निष्कर्ष निकालते हैं कि 17 गरम है; जन्मदिन गणित कहता है कि दस स्पिन के भीतर दोहराव 74% समय होता है और दोहराया गया नंबर यादृच्छिक है। पैटर्न वास्तविक है; उसका अर्थ नहीं।
अनुवर्ती समस्या
कितनी स्पिनों के बाद एक खास नंबर, मान लें 17, दो बार आ चुका होगा? यह अधिक बड़े उत्तर वाला अलग प्रश्न है: अपेक्षित प्रतीक्षा 74 स्पिन है और 20 स्पिन में दो 17 की प्रायिकता लगभग 10% है। “कोई नंबर दोहराता है” (8 स्पिन) और “यह नंबर दोहराता है” (74 स्पिन) के बीच का अंतर ही बाद में देखे गए पैटर्न और पहले से किए गए पूर्वानुमान के बीच का पूरा अंतर है।
इसे आज़माएँ
Demo Game को दस स्पिन चलाकर इतिहास देखें। आम तौर पर एक दोहराव होगा। इसे फिर चलाएँ। दोहराया नंबर अलग होगा। ऐसा दस बार करें और आपने जन्मदिन समस्यागणितजन्मदिन समस्यादो लोगों का एक ही जन्मदिन होने की प्रबल संभावना बनने से पहले कितने लोग चाहिए, या किसी संख्या के फिर आने की प्रबल संभावना बनने से पहले कितने स्पिन चाहिए। 37-पॉकेट व्हील पर आधे से अधिक संभावना के लिए 8 स्पिन पर्याप्त हैं।पूरा पढ़ें → देख ली; इसे एक हजार बार करें (सिम्युलेटर कर सकते हैं) और आपने उसे माप लिया।
सूत्र
प्रश्न
बिलकुल, 365 दिनों के बजाय 37 पॉकेट के साथ। 23 लोगों में जन्मदिन दोहराने की संभावना 50% होती है; व्हील पर 8 स्पिन में यह 56% है।
लगभग 19 स्पिन के बाद 50%। फिर भी सामान्य।
नहीं। एक ही व्हील की हजारों स्पिनें पक्षपात का संकेत दे सकती हैं; एक दोहराव कभी नहीं।
गणित के साथ मनोरंजन
पहले इन्हें स्वयं आज़माएँ। हर समाधान बंद है; तैयार होने पर इसे खोलें।
अमेरिकी व्हील के पास लगा परिणाम बोर्ड पिछले 16 स्पिन दिखाता है। उस पर कोई नंबर दो बार न दिखने की संभावना कितनी है?
समाधान दिखाएँ
उत्तर लगभग 2.5%: लगभग हर 40 में से 39 बोर्डों पर कम-से-कम एक दोहराव दिखता है।
स्पिन-दर-स्पिन चलें। पहला स्पिन कुछ भी हो सकता है। दूसरे को उससे बचना है: 38 में 37 अवसर। तीसरे को दोनों से बचना है: 38 में 36। सोलहवें को पंद्रह नंबरों से बचना है: 38 में 23।
गुणा करें: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246।
दोहराव रहित बोर्ड दुर्लभ है। दोहराव वाला बोर्ड व्हील के बारे में कुछ नहीं कहता।
यूरोपीय व्हील के दस स्पिनों में 17 के ठीक पाँच बार आने की प्रायिकता क्या है? किसी नंबर, कोई भी नंबर, के पाँच या अधिक बार आने की? और चार स्पिनों में किसी नंबर के कम-से-कम तीन बार आने की?
समाधान दिखाएँ
उत्तर 17 का ठीक पाँच बार आना: 3,15,576 में 1। किसी नंबर का पाँच या अधिक बार: लगभग 8,333 में 1। चार स्पिनों में किसी नंबर का कम-से-कम तीन बार: 349 में 1।
17 का पाँच बार: दस में कौन-से पाँच स्पिन होंगे चुनें, 252 तरीके, हर एक का अवसर (1/37)⁵ × (36/37)⁵। साथ में, 3,15,576 में 1।
किसी नंबर का: 37 में हर नंबर के पाँच या अधिक हिट का अवसर 3,08,325 में 1 है, जो 3,08,325 में 37, या 8,333 में 1 देता है। पाँच हिट वाले दो नंबरों का दुर्लभ मामला दो बार गिना जाता है, लेकिन इस सटीकता पर उसे हटाने से कुछ नहीं बदलता।
चार स्पिनों में तीन बार: एक नंबर के लिए 37⁴ संभावित परिणामों में 4 × 36 + 1 = 145; 37 में किसी भी नंबर के लिए 145/37³ = 349 में 1।
डबल-ज़ीरोव्हीलशून्यएकल हरा पॉकेट जिसे कोई सम-धन, दर्जन या कॉलम दांव कवर नहीं करता; हाउस एज का स्रोत। इसे सिंगल ज़ीरो, 0 भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → व्हील में संगत आंकड़े 3,59,275 में 1, 9,243 में 1 और 368 में 1 हैं। “17” और “किसी नंबर” के बीच अंतर फिर वही जन्मदिन समस्यागणितजन्मदिन समस्यादो लोगों का एक ही जन्मदिन होने की प्रबल संभावना बनने से पहले कितने लोग चाहिए, या किसी संख्या के फिर आने की प्रबल संभावना बनने से पहले कितने स्पिन चाहिए। 37-पॉकेट व्हील पर आधे से अधिक संभावना के लिए 8 स्पिन पर्याप्त हैं।पूरा पढ़ें → है: चकित होने के 37 तरीके हैं।
हास्य-विराम
कुछ जल्दी दोहराता है। वह कुछ यादृच्छिक है।
स्रोत
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, roulette questions.