समस्या: शून्य तक कितना समय
शून्य औसतन 37 में एक स्पिन पर आता है। वास्तव में आप कितनी देर प्रतीक्षा करते हैं, और सम-धन दांव लगाने वाले पर उसका क्या असर होता है?
शून्य की प्रतीक्षा ज्यामितीय है: माध्य 37 स्पिन, माध्यिका 25, और बीस में एक प्रतीक्षा 110 स्पिन से अधिक होती है। 200-स्पिन सत्र में सम-धन दांव लगाने वाला 5.4 शून्य की अपेक्षा करता है और 1 से 10 के बीच देखेगा।
समस्या
शून्यव्हीलशून्यएकल हरा पॉकेट जिसे कोई सम-धन, दर्जन या कॉलम दांव कवर नहीं करता; हाउस एज का स्रोत। इसे सिंगल ज़ीरो, 0 भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → की प्रायिकतागणितप्रायिकतापरिणाम की संभावना, 0 से 1 या 0% से 100% तक। एक संख्या: 1/37 = 2.70%।पूरा पढ़ें → प्रति स्पिन 1/37 है। (a) अगली 37 स्पिन में शून्य न आने की प्रायिकता क्या है? (b) माध्यिका प्रतीक्षा क्या है? (c) 200-स्पिन के सम-धन सत्र में खिलाड़ी को कितने शून्य की अपेक्षा करनी चाहिए और सीमा क्या है?
हल
(a) (36/37)³⁷ = 36.3%। एक तिहाई से अधिक बार 37 स्पिन बिना किसी शून्य के बीतती हैं; यही गणित है जिसमें 37 स्पिन में स्ट्रेट-अपदांवस्ट्रेट-अपएक संख्या, भुगतान 35:1।पूरा पढ़ें → पर “कम-से-कम एक हिट” केवल 63.7% है। (b) प्रतीक्षा W ज्यामितीय है; p(W > k) = (36/37)ᵏ; माध्यिका वह k है जहाँ यह 0.5 को पार करता है, अर्थात् k ≈ 25। आधी प्रतीक्षाएँ 25 स्पिन या कम और आधी अधिक हैं; 37 का माध्य लंबी पूँछ से ऊपर खिंचता है। (c) 200 स्पिन में शून्य द्विपद हैं, जिनका माध्य 200/37 = 5.4 और मानक विचलनगणितमानक विचलनप्रसरण का वर्गमूल; परिणाम की अपेक्षित मान से सामान्य दूरी।पूरा पढ़ें → √(200 × (1/37) × (36/37)) ≈ 2.3 है। 95% सीमा लगभग 1 से 10 है।
सम-धन दांव लगाने वाले को शून्य की लागत
हर शून्य एक दांव की लागत है और लालदांवलाल18 लाल संख्याओं पर सम-धन दांव। फ़्रेंच: rouge।पूरा पढ़ें → पर पूरा एज शून्यों से है: 37 औसत स्पिनों में 18 जीत और 18 हार एक-दूसरे को रद्द करती हैं और एक शून्य −1/37 है। $10 पर 200-स्पिन सत्र में अपेक्षित 5.4 शून्य की लागत $54 है, जो ठीक 200 × $10 / 37 है। 2 शून्य वाले सत्र को $34 का अच्छा भाग्य मिला है; 9 शून्य वाले को $36 का बुरा भाग्य मिला है और वह रिग किया हुआ लगेगा। la partageनियमLa partageफ़्रेंच नियम: शून्य आने पर सम-धन दांव का आधा वापस होता है। उन दांवों पर हाउस एज को 1.35% तक आधा करता है।पूरा पढ़ें → टेबल पर हर शून्य आधे दांव की लागत है और आंकड़े आधे हो जाते हैं।
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अनुवर्ती प्रश्न
लगातार दो शून्य की प्रायिकता क्या है? (1/37)² = 1/1,369। 50 स्पिन प्रति घंटा चलाने वाली 20 टेबल वाले कैसीनो में, लगभग हर 1.4 घंटे में कहीं न कहीं एक डबल ज़ीरोरूपांतरडबल ज़ीरोअमेरिकी व्हील का 00 पॉकेट। इसकी मौजूदगी हाउस एज को 2.70% से 5.26% तक बढ़ाती है।पूरा पढ़ें → आता है। इसे देखने वाले खिलाड़ी निष्कर्ष निकालते हैं कि व्हील टूटा है; गणित कहता है कि आज मंगलवार है।
इसे आज़माएँ
Session Simulator प्रति सत्र शून्य गिनता है। 100 स्पिन को कुछ सौ बार चलाकर गिनती का प्लॉट बनाइए: ऊपर का हिस्टोग्राम अपनी लंबी दाईं पूँछ के साथ दिखेगा। कहानियाँ उसी पूँछ से आती हैं।
सूत्र
प्रश्न
निष्पक्ष व्हील पर नहीं। पक्षपात वाले व्हीललैबपक्षपात वाला व्हीलऐसा व्हील जिसके भौतिक दोष कुछ पॉकेटों को 1/37 से अधिक संभावित बनाते हैं। दुर्लभ; केवल हज़ारों दर्ज स्पिनों से पता चलता है।पूरा पढ़ें → पर कोई भी पॉकेटउपकरणपॉकेटरोटर पर 37 क्रमांकित खानों में से एक। इसे स्लॉट, कप भी कहते हैं।पूरा पढ़ें → हो सकता है और बताने के लिए हजारों स्पिन लगेंगी।
यह हर दूसरे दांव जैसा 2.70% का दांव है। यह सत्र का आकार बदलता है (शून्य जीत बन जाता है), लागत नहीं।
क्योंकि प्रतीक्षाओं का वितरण तिरछा है: बहुत-सी छोटी प्रतीक्षाएँ और कुछ बहुत लंबी।
हास्य-विराम
माध्य 37, माध्यिका 25 और लंबी पूँछ जहाँ किंवदंतियाँ रहती हैं।
स्रोत
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.