रूलेट मानक विचलन
रूलेट मानक विचलन, प्रसरणगणितप्रसरणअपेक्षित मान के चारों ओर परिणाम कितने व्यापक फैले हैं इसका माप। स्ट्रेट-अप के लिए अधिक, सम-धन दांवों के लिए कम।पूरा पढ़ें → का वर्गमूल, परिणाम और उसकी अपेक्षा के बीच सामान्य दूरी है।
प्रति $1 दांव पर स्ट्रेट-अप के लिए σ 5.84 और लाल के लिए 1.00 है। सत्र के लिए दांव की राशि और स्पिनों की संख्या के वर्गमूल से गुणा करें।
सरल नियम
लगभग दो तिहाई सत्र अपेक्षा के एक σ के भीतर और 95% दो के भीतर आते हैं। $10 पर लालदांवलाल18 लाल संख्याओं पर सम-धन दांव। फ़्रेंच: rouge।पूरा पढ़ें → के 100 स्पिनों में (अपेक्षित −$27, σ = $100) अधिकांश सत्र −$127 और +$73 के बीच, और लगभग सभी −$227 और +$173 के बीच आते हैं। उस सीमा से बाहर का परिणाम किसी बात का प्रमाण नहीं है, सिवाय इसके कि बीस में एक सत्र ऐसा होता है।
√N क्यों
अपेक्षित हानिगणितअपेक्षित हानिकुल लगाई राशि से गुणा किया गया अपेक्षित मान; सत्र या अवधि में औसतन खोई राशि।पूरा पढ़ें → N के अनुपात में बढ़ती है; फैलाव √N के अनुपात में बढ़ता है। छोटे N पर फैलाव हावी होता है और सत्र हल्के झुकाव वाले सिक्का उछाल हैं। बड़े N पर हानि फैलाव को पीछे छोड़ देती है। वह प्रतिच्छेदन, जहाँ अपेक्षित हानि एक मानक विचलनगणितमानक विचलनप्रसरण का वर्गमूल; परिणाम की अपेक्षित मान से सामान्य दूरी।पूरा पढ़ें → के बराबर है, N = (σ/edge)² = (1/0.027)² ≈ सम-धन के लिए 1,370 स्पिन और स्ट्रेट-अपोंदांवस्ट्रेट-अपएक संख्या, भुगतान 35:1।पूरा पढ़ें → के लिए (5.84/0.027)² ≈ 46,800 है। इन संख्याओं के नीचे भाग्य निर्णय करता है; ऊपर एज।
इसका उपयोग
किसी सत्र के असामान्य होने को जाँचने के लिए (परिणाम − EV)/σ निकालें। 100 स्पिनों के बाद +$150 पर समाप्त होने वाला $10 लाल खिलाड़ी (150 + 27)/100 = 1.77σ पर है, 25 में एक परिणाम: भाग्यशाली, उल्लेखनीय नहीं। उसी +$150 पर स्ट्रेट-अप खिलाड़ी 0.3σ पर है: साधारण रात। एक ही डॉलर परिणाम अलग दांवों पर अलग अर्थ रखता है।
अनुपात की मानक त्रुटि
वही गणित बताता है कि आँकड़ों में एज देखने के लिए कितने स्पिन लगते हैं। देखे गए जीत-अनुपात की मानक त्रुटि √(p(1 − p)/N) है। N = 1,000 वाले लाल के लिए: √(0.4865 × 0.5135 / 1000) ≈ 1.6%। उचित सिक्के और लाल के बीच अंतर 1.35% है, इसलिए 1,000 स्पिन के बाद भी आप उन्हें विश्वास के साथ अलग नहीं बता सकते। 10,000 के बाद मानक त्रुटि 0.5% है और आप बता सकते हैं। इसी कारण व्हील के पक्षपात की पहचान में इतने स्पिन लगते हैं।
विषमता पर सावधानी
छोटे सत्र में स्ट्रेट-अप परिणाम सामान्य वितरण से बहुत दूर हैं: अधिकांश सत्र कभी-कभार +$350 की छलाँगों के साथ प्रति स्पिन लगातार −$10 हैं। ±1σ नियम फैलाव को सही बताता है, पर N सैकड़ों में पहुँचने तक आकार को खराब बताता है। सम-धन दांवोंदांवसम-धन दांवलाल/काला, विषम/सम, हाई/लो। 18 संख्याएँ, भुगतान 1:1।पूरा पढ़ें → के लिए सामान्य सन्निकटन लगभग 30 स्पिनों से अच्छा है।
सूत्र
प्रश्न
यह प्रमाण है कि आपने लगभग 40 सत्र खेले, या चालीस में भाग्यशाली सत्र में थे। इसे दोहराएँ।
वह कम-से-कम झूलता है: औसत की मानक त्रुटि σ/√N है। N = 10,000 पर वह दांव की राशि का 1% है।
गणित के साथ मनोरंजन
पहले इन्हें स्वयं आज़माएँ। हर समाधान बंद है; तैयार होने पर इसे खोलें।
यूरोपीय व्हील के 100 स्पिनों में लालदांवलाल18 लाल संख्याओं पर सम-धन दांव। फ़्रेंच: rouge।पूरा पढ़ें → पर एक यूनिटपैसाइकाईआधार दांव जिसमें कोई प्रणाली या खिलाड़ी काम करता है। प्रगति-क्रम इकाइयों में वर्णित होते हैं ताकि वे किसी भी टेबल पर लागू हों।पूरा पढ़ें → का दांव कम-से-कम 51 जीतों के साथ लाभ में है, और स्ट्रेट-अपदांवस्ट्रेट-अपएक संख्या, भुगतान 35:1।पूरा पढ़ें → पर एक यूनिट का दांव तब लाभ में है जब उसका नंबर कम-से-कम 3 बार आए। दोनों प्रायिकताओं का अनुमान घंटी-वक्र से लगाइए, फिर उनकी तुलना सटीक उत्तरों से कीजिए।
समाधान दिखाएँ
उत्तर लाल: घंटी-वक्र 35.6% देता है और सटीक उत्तर 35.5% है। स्ट्रेट-अप: घंटी-वक्र 55.0% देता है और सटीक उत्तर 50.9% है। यह शॉर्टकट लाल के लिए काम करता है, लेकिन एकल नंबर के लिए चूकता है।
लाल: जीतों का औसत 100 × 18/37 = 48.6 है, और फैलाव √(100 × 18/37 × 19/37) = 5.0 है। लाभ में होने का अर्थ 51 या अधिक है; मध्य-बिंदु 50.5 औसत से 0.37 फैलाव ऊपर है, और घंटी-वक्र उसके ऊपर 35.6% रखता है। 51, 52 … 100 जीतों की सटीक प्रायिकताएँ जोड़ने पर 35.5% मिलता है।
स्ट्रेट-अप: हिटों का औसत 100/37 = 2.70 है, और फैलाव √(100 × 1/37 × 36/37) = 1.62 है। तीन या अधिक हिट का अर्थ 2.5 से ऊपर, औसत से 0.12 फैलाव नीचे है: घंटी-वक्र के अनुसार 55.0%। ठीक-ठीक देखें तो यह 0, 1 और 2 हिट की प्रायिकताओं, 6.5% + 17.9% + 24.7%, में से 1 घटाने पर मिलता है, जिससे 50.9% बचता है।
घंटी-वक्र के लिए औसत के दोनों ओर पर्याप्त परिणाम चाहिए। लाल के पास 100 स्पिनों के बाद वे हैं; जो नंबर औसतन तीन बार से कम आता है, उसके पास नहीं। वक्र “कोई हिट नहीं” को भी 8.7% देता है, जबकि वास्तविक प्रायिकता 6.5% है। Taylor (2021) ने द्विपद वितरण और घंटी-वक्र को इसी तरह साथ रखा है।
हास्य-विराम
बीस में एक सत्र दो सिग्मा के बाहर होता है। कोई न कोई हमेशा पूँछ में होता है।
स्रोत
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.